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diff --git a/background/dif.tex b/background/dif.tex
index 9435c24..0d1b106 100644
--- a/background/dif.tex
+++ b/background/dif.tex
@@ -1,5 +1,5 @@
 Le but du calcul différentiel est l'étude des variations infinitésimales des fonctions.
-Nous allons nous contenter ici d'étudier les fonctionnelles, c'est-à-dire des fonction de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ car c'est ce dont nous allons avoir besoin en apprentissage automatique.
+Nous allons nous contenter ici d'étudier les fonctionnelles, c'est-à-dire des fonctions de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ car c'est ce dont nous allons avoir besoin en apprentissage automatique.
 \begin{definition}{Produit scalaire euclidien}
     \label{def:background-dif-scal}
     Soit $(x,y){\in\mathbb{R}^n}^2$ alors le produit scalaire euclidien est
@@ -19,11 +19,11 @@ Nous allons nous contenter ici d'étudier les fonctionnelles, c'est-à-dire des
     \label{def:background-dif-lim}
     Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^m$ dans $\mathbb{R}^n$.
     Soit $x\in\mathbb{R}^m$.
-    Nous dirons que $f$ admet une limite en $x$ si il existe $y\in\mathbb{R}^n$ tel que
+    Nous dirons que $f$ admet une limite en $x$ s'il existe $y\in\mathbb{R}^n$ tel que
     \begin{equation*}
         \forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall a\in\mathbb{R}^m~||a-x||<\delta\implies||f(a)-y||<\varepsilon
     \end{equation*}
-    Nous écrivons alors $lim_{a\rightarrow x}f(a)=y$ car $y$ est alors unique~\cite{Bourrigan2021-dd}.
+    Nous écrivons $lim_{a\rightarrow x}f(a)=y$ car $y$ est alors unique~\cite{Bourrigan2021-dd}.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}{Différentielle}
@@ -31,7 +31,7 @@ Nous allons nous contenter ici d'étudier les fonctionnelles, c'est-à-dire des
     Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$.
     Nous dirons que $f$ est différentiable en $a\in\mathbb{R}^n$ si et seulement si il existe 
     $df(a)\in\mathbb{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$
-    telle que il existe $\varepsilon:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ telle que pour tout $h\in\mathbb{R}^n$
+    tel qu'il existe $\varepsilon:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ tel que pour tout $h\in\mathbb{R}^n$
     \begin{equation*}
         f(a+h) = f(a)+df(a)h+||h||\varepsilon(h)
     \end{equation*}
@@ -67,7 +67,7 @@ Nous allons nous contenter ici d'étudier les fonctionnelles, c'est-à-dire des
         \right.
     \end{equation*}
 \end{definition}
-Pour le.a lecteur.ice familier avec la dérivabilité notons que
+Pour le.la lecteur.ice familier.ère avec la dérivabilité notons que
 \begin{equation*}
     lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+he_i)-f(x)}{h} = \partial_i f(x)
 \end{equation*}