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diff --git a/background/proba.tex b/background/proba.tex index 2cb0098..5bce111 100644 --- a/background/proba.tex +++ b/background/proba.tex @@ -13,6 +13,20 @@ Soit maintenant $A\subset\mathcal{P}(A)$, nous appellons $\sigma(A)$ la plus pet Nous appelons mesure, une fonction $d$ :$\mathcal{A}$ $\rightarrow$ $[0,+\infty]$ telle que $d(\emptyset) = 0$ et $d\left(\bigcup_{i\in \mathbb{N}} A_i\right) = \sum_{i\in \mathbb{N}}d(A_i)$ pour tout $(A_1, A_2, \cdots) \in \mathcal{A}^\mathbb{N} $ avec $\forall (i,j) A_i\cap A_j = \emptyset$. Nous disons alors que $(A, \mathcal{A}, d)$ est un espace mesuré. +Pour un espace mesurable $(A,\mathcal{P}(A))$, la mesure de dirac est la mesure telle que pour $a\in A$ +\begin{equation*} + \delta_a : \left\{ + \begin{matrix} + \mathcal{P}(A)\rightarrow \{0,1\}\\ + B\mapsto\left\{ + \begin{matrix} + 1&\text{si}&a\in B\\ + 0&\text{sinon}& + \end{matrix} + \right. + \end{matrix} + \right. +\end{equation*} Soit $(A, \mathcal{A}, d)$ et $(B, \mathcal{B}, e)$ deux espaces mesurés. Nous définissons alors @@ -47,6 +61,8 @@ Dans le cas particulier où $d(A) = 1$, nous appelons $d$ une mesure de probabil Le loi de probabilité d'une variable aléatoire $f$ sur $(X,\mathcal{X})$ est la mesure image de $f$ sur $d$. Nous dirons que deux variables aléatoire $f$ et $g$ sont indépendantes si et seulement si la loi de la variables aléatoire $h:\omega\mapsto (f(\omega),g(\omega))$ est la mesur produit de la loi de $f$ et $g$. +De plus, dans le cas des variables aléatoires, il est courant de d'écrir $\{f\in A\}$ pour $f^{-1}(A)$ et $\{f=a\}$ pour $f^{-1}(\{a\})$. + %Having introduced probability theory, we explicit the relation with the ML theory described previously. %Let $I$ a finite set, $\mathcal{X}$, $\mathcal{S}$ and $\mathcal{Y}$ the sets of features, sensitive attribute and label. |