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diff --git a/background/proba.tex b/background/proba.tex index 2ff37b7..f4cbd96 100644 --- a/background/proba.tex +++ b/background/proba.tex @@ -1,13 +1,13 @@ La théorie des probabilités est profondément liée à l'apprentissage automatique. -Les propriétés de modèles comme la confidentialité différentielle, les définitions d'équité, les métriques d'utilité, etc. que nous aborderons en Section~\ref{sec:background-ml} s'écrivent en terme de probabilité. +Les propriétés des modèles comme la confidentialité différentielle, les définitions d'équité, les métriques d'utilité, etc. que nous aborderons en Section~\ref{sec:background-ml} s'écrivent en termes de probabilité. Ainsi nous présentons les notions de probabilités et de théorie de la mesure que nous allons utiliser. -A la manière de la Section~\ref{sec:background-set}, notre présentation à principalement le but de fixer les objets que nous utiliserons dans les prochaines sections et non pas d'être un cours complet. -Si le.la lecteur.rice souhaite en apprendre plus sur la théorie de la mesure nous le renvoyons vers les notes de cours de Thierry Gallay de l'université Joseph Fourrier~\cite{mesure}. -Si il.elle souhait explorer plus en avant les probabilités il.elle pourra consulter les notes de cours de Jean-François Le Gall de l'École Normale Supérieur de Paris~\cite{proba}. +A la manière de la Section~\ref{sec:background-set}, notre présentation a principalement le but de fixer les objets que nous utiliserons dans les prochaines sections et non pas d'être un cours complet. +Si le.la lecteur.rice souhaite en apprendre plus sur la théorie de la mesure nous le renvoyons vers les notes de cours de Thierry Gallay de l'Université Joseph Fourrier~\cite{mesure}. +Si il.elle souhaite explorer plus en avant les probabilités il.elle pourra consulter les notes de cours de Jean-François Le Gall de l'École Normale Supérieure de Paris~\cite{proba}. Soit $A$ un ensemble. -Nous appelons une tribu que nous notons $\mathcal{A}$ un sous ensemble de $\mathcal{P}(A)$ qui contient $\emptyset$ et $A$, qui est stable par complémentaire et qui est stable par union dénombrable d'éléments de $\mathcal{A}$. +Nous appelons une tribu que nous notons $\mathcal{A}$ un sous-ensemble de $\mathcal{P}(A)$ qui contient $\emptyset$ et $A$, qui est stable par complémentaire et qui est stable par union dénombrable d'éléments de $\mathcal{A}$. Nous disons alors que $(A,\mathcal{A})$ est un espace mesurable. Soit maintenant $A\subset\mathcal{P}(A)$, nous appelons $\sigma(A)$ la plus petite tribu pour l'intersection qui contient tous les éléments de $A$. @@ -57,17 +57,17 @@ Nous définissons la mesure image de $f$ par $d$, que nous notons $d_f$, par l'e \end{equation} \begin{definition}{Intégrale} - Soient $(E,\mathcal{E},\mu)$ un espace mesuré. - Pour une fonction $f=\sum_{i\in I}\alpha_i 1_{A_i}$, nous dirons étagé, + Soit $(E,\mathcal{E},\mu)$ un espace mesuré. + Pour une fonction $f=\sum_{i\in I}\alpha_i 1_{A_i}$, nous dirons étagée, avec $\{A_i\mid i\in I\} \subset \mathcal{E}$ et $\alpha_i\in\mathbb{R}^+$. alors $\int_E f d\mu= \sum_{i\in I}\alpha_i \mu(A_i)$. - Soit $g$ un fonction mesurable de $(E,\mathcal{E},\mu)$ dans $\mathbb{R}^+$, alors + Soit $g$ une fonction mesurable de $(E,\mathcal{E},\mu)$ dans $\mathbb{R}^+$, alors \begin{equation*} \int_{E}gd\mu = sup\left\{\int_E fd\mu\mid f~\text{est étagé}\wedge f\leq g\right\} \end{equation*} - Enfin dans le cas générale de $h$ une fonction mesurable de $(E,\mathcal{E},\mu)$ dans $\mathbb{R}$, alors + Enfin dans le cas général de $h$ une fonction mesurable de $(E,\mathcal{E},\mu)$ dans $\mathbb{R}$, alors si $\int_E |h|d\mu\in\mathbb{R}$ on pose \begin{equation*} \int_E hd\mu = \int_E max(h,0)d\mu - \int_E max(-h,0)d\mu @@ -76,7 +76,7 @@ Nous définissons la mesure image de $f$ par $d$, que nous notons $d_f$, par l'e Dans le cas particulier où $d(A) = 1$, nous appelons $d$ une mesure de probabilité - $(A,\mathcal{A},d)$ est alors un espace probabilisé et les fonctions mesurables sur cet espace sont appelés variables aléatoires. + $(A,\mathcal{A},d)$ est alors un espace probabilisé et les fonctions mesurables sur cet espace sont appelées variables aléatoires. Pour un évènement $a\in\mathcal{A}$ tel que $d(a)\neq 0$, la probabilité conditionnelle est \begin{equation*} d(\square\mid a):\left\{ @@ -87,7 +87,7 @@ Pour un évènement $a\in\mathcal{A}$ tel que $d(a)\neq 0$, la probabilité cond \right. \end{equation*} La loi de probabilité d'une variable aléatoire $f$ sur $(X,\mathcal{X})$ est la mesure image de $f$ sur $d$. -Nous dirons que deux variables aléatoire $f$ et $g$ sont indépendantes si et seulement si la loi de la variables aléatoire $h:\omega\mapsto (f(\omega),g(\omega))$ est la mesure produit de la loi de $f$ et $g$. +Nous dirons que deux variables aléatoires $f$ et $g$ sont indépendantes si et seulement si la loi de la variables aléatoire $h:\omega\mapsto (f(\omega),g(\omega))$ est la mesure produit de la loi de $f$ et $g$. De plus, dans le cas des variables aléatoires, il est courant d'écrire $\{f\in A\}$ pour $f^{-1}(A)$ et $\{f=a\}$ pour $f^{-1}(\{a\})$. |