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+Commencons donc cette section préliminaire avec les définitions et quelques porpiété des ensemble et de fonctions.
+Commencons par les ensembles.
+Nous utilisons ici la théorie des ensembles Zermelo–Fraenkel (ZF).
+Si nous avons, dans ce manuscrit, besoin d'objet plus grand que les ensembles, nous les appelerons classes bien qu'il soit hors de propos de présenter ici la théorie Von Neumann–Bernays–Gödel (NBG).
+Nous allons présenter ZF de manière assez succinte, juste suffisante pour réaliser les clalculs du Chapitre~\ref{sec:fini}.
+Si le lecteur souhaite plus de détail sur ces théories nous le renvoyons à \textit{Elements of set thoery} de Herbert B. Enderton~\cite{enderton1977elements}.
+
+\subsubsection{Axiomes de la théroie ZF}
+Nous présentons dans cette section les axiomes de la théorie ZF.
+Ces axiomes sont la pierre angulaire des tous les dévleppoements mathématiques que nous ferons dans ce manuscrit.
+Pour un lecteur qui ne serai pas familier de cette théorie, disons qu'il s'agit de modéliser formellement le principe d'ensemble.
+C'est à dire le principe de ranger des choses, les éléments, dans des boîtes, les ensembles.
+
+\paragraph{Axiome d'Extensionnalité} 
+Deux ensemble $A$ et $B$ sont égaut si et seulement si ils ont les mêmes éléments.
+\begin{equation}
+\forall A\forall B (\forall x~x\in A \iff x\in B) \implies A=B
+\end{equation}
+
+\paragraph{Axiome de l'Ensemble vide}
+Il exite un ensemble qui ne contient aucun élément.
+Nous le notons donc $\{\}$ ou $\emptyset$.
+
+\paragraph{Axiome de la Paire}
+\begin{equation}
+\forall A \forall B \exists \{A,B\}\forall c(c\in \{A,B\}\iff c=A\vee c=B)
+\end{equation}
+
+\paragraph{Axiome de l'Union}
+Pour tout ensembles $A$, il exist un ensemble $\bigcup A$ qui soit exactement composé des éléments de chaque élément de $A$.
+\begin{equation}
+\forall A \exists \bigcup A \forall b \left(b\in\bigcup A\iff \exists a\in A~ b\in a\right)
+\end{equation}
+
+\paragraph{Axiome de l'ensemble des parties}
+Pour tout ensemble $A$ il existe un ensemble $\mathcal{P}(A)$ qui est l'ensemble des sous-ensembles (ou parties) de $A$.
+\begin{equation}
+\forall A \exists \mathcal{P}(A) ~ P\subset A \iff P\in \mathcal{P}(A)
+\end{equation}
+
+\paragraph{Axiome \textit{Aussonderung}}
+Pour toute formule $F$ (au sens du clacul des prédicats et du vocabulaire $\in$, $=$) qui ne pédend pas de $B$ et tout ensemble A, il existe un ensemble $B = \{a\in A | F\}$ qui est tel que 
+$\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
+
+\paragraph{Axiome du choix}
+\begin{definition}[Fonction]
+qsdf
+\end{definition}
+
+\paragraph{Axiome de l'infini}
+\begin{equation}
+\exists A\forall a\in A~(\emptyset \in A \wedge a^+\in A)
+\end{equation}
+Où $a^+ = a\cup \{a\}$.
+Nous appelons un tel $A$, un ensemble récursif.
+
+\begin{definition}[Ensemble usuels]
+Soit $C$ la classe des ensembles récursif.
+Soit $A$ un ensemble récursif.
+Nous appelons $\mathbb{N}$ l'ensemble des entier naturels que nous définissons comme suit :
+\begin{equation}
+\mathbb{N} = \{n\in A~|~\forall c\in C~n\in c\}
+\end{equation}
+$\mathbb{N}$ est bien en ensemble d'après l'axiome Aussonderung.
+Cette construction permet de définir les opérations d'addition et de multiplication~\cite{enderton1977elements} ainsi que les autres ensembles usuels qui nous utiliserons dans ce manuscrit.
+Ainsi nous définisson $\mathbb{Z} = \{$ : l'ensemble des entiers relatifs l'union de $\mathbb{N}$ et de $-\mathbb{N} = \{$
+
+\end{definition}
+
+\paragraph{Axiome de remplacement}
+
+\paragraph{Axiome de régularitée}
+
+
+
+
+