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index b45e302..e011510 100644
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@@ -42,6 +42,17 @@ Pour tout ensemble $A$ il existe un ensemble $\mathcal{P}(A)$ qui est l'ensemble
 Pour toute formule $F$ (au sens du clacul des prédicats et du vocabulaire $\in$, $=$) qui ne pédend pas de $B$ et tout ensemble A, il existe un ensemble $B = \{a\in A | F\}$ qui est tel que 
 $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
 
+\begin{definition}[Intersection]
+    Pour des ensembles $A$ et $B$,
+    \begin{equation*}
+        A\cap B=\{a\in A\mid a\in B\}
+    \end{equation*}
+    et
+    \begin{equation*}
+        A\backslash B=\{a\in A\mid \neg(a\in B)\}
+    \end{equation*}
+\end{definition}
+
 \begin{definition}[Fonctions]
 
     \textbf{2-uplet.}
@@ -75,21 +86,43 @@ $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
         \right.
     \end{equation}
     Où la notation $x\mapsto f(x)$ signifie que $(x,f(x))\in f$.
+    En particulier, la fonction identitée est telle que 
+    \begin{equation*}
+        id_E:\left\{
+            \begin{matrix}
+                E\rightarrow E\\
+                x\mapsto x
+            \end{matrix}
+            \right.
+    \end{equation*}
+
+    Pour une expression $f(x)$, quand cela est pertinant nous noterons $f(\square)$ la fonction $f:x\mapsto f(x)$ quand il n'y a pas d'ambiguitée sur le domaine et codomaine.
 
     \textbf{Produit cartésien.}
-    Soit $A$ un ensemble $f$ une fonctions
+    Soit $A$ un ensemble $f$ une fonctions le produit cartésien est
     \begin{equation}
         \bigtimes_{a\in A}f(a) = 
         \left\{
-            g~|~D_g=A\wedge (\forall a\in A~g(i)\in f(i))
+            g~|~D_g=A\wedge (\forall a\in A~g(a)\in f(a))
         \right\}
     \end{equation}
 
+    Si $A=\{i,j\}$ et $f(i)=B$ et $f(j)=C$ nous notons le produit cartésien : $B\times C$.
+    Si pour tout $a\in A~f(a)=B$ nous notons le produit cartésien $B^{A}$.
+\end{definition}
+
+
+
+
     Nous dirons qu'une fonction $f:E\rightarrow F$ est injective si et seulement si $\forall (x,y)\in E^2(f(x)=f(y)\implies x=y$).
     Nous dirons aussi que $f$ est surjective si et sulement si $\forall y\in F\exists x\in E~f(x)=y$.
     Dans le cas où $f$ serait à la fois injective et surjective nous dirons qu'elle est bijective et que les ensembles $E$ et $F$ sont en bijection.
 
-\end{definition}
+    Pour une bijection $f$ de $E$ dans $F$ nous notons $f^{-1} : y\mapsto x~\text{tel que}~f(x)=y$.
+    Dans le cas où $f$ n'est pas bijective, nous définison cette notation de la manière suivant :
+    pour $B\subset F$,
+    $f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B$.
+
 
 \paragraph{Axiome du choix}
 Cette axiome nous assure qui si tous les termers du produit cartérise sons non-vides alors le produits cartésien est non-vide.
@@ -229,6 +262,19 @@ Nous identifions aussi $\mathbb{R}$ aux réprésentation en base 10 de ses élé
 Et nous utiliserons les opérations usuelles $+$, $\cdot$, $-$ et $/$ ainsi que la relation d'ordre $<$ sur ces représentation.
 En générale il est possible de construire ces opérations sans utiliser la représentation en base 10~\cite{enderton1977elements} mais une telle construction est hors de propos pour ce manuscrit.
 
+Outre les opératiosn usuelles, nous allons avoir aussi besoin de quelques fonction particulière :
+\begin{itemize}
+    \item La factorielle : pour $n\in\mathbb{N}~n!=n(n-1)\cdots1$.
+    \item La division euclidienne : pour 
+        $(a,b)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}^*~\exists (q,r)\in\left(\mathbb{N}^*\right)^2~
+        a=qb+r\wedge b(q+1)>a$.
+        $q$ est appellé quotient et $r$ reste de la division de $a$ par $b$.
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{Intervalle}
+Pour $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ avec $a\leq b$ nous définissone l'intervalle $[a,b]$ de la manière suivant : $\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\wedge x\leq b\}$.
+Et aussi sa contrepartie entière : $[|a,b|] = [a,b]\cap\mathbb{N}$.
+
 \subsubsection{Cardinal}
 La notion de cardinal cherche à comparer la taille d'ensembles arbitraires.
 Nous n'allons pas ici considérer la théorie de ordinaux de Van Neumann qui compléte notre simplification.