From faa07a8f3337c5d191597ea9b9587cc0969d663c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Fri, 13 Sep 2024 00:07:42 +0200
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index 0000000..2f2a0e0
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@@ -0,0 +1,46 @@
+A la Section~\ref{sec:background-eq} nous avons introduits la notion de \textit{demographic parity} (DemPar).
+Dans le cas d'un classifieur binaire ($\hat{Y}$) avec attribut binaire ($S$), nous pouvons calculer à quel point le classifieur est proche d'être DemPar avec la quantité suivante :
+\begin{equation*}
+    \text{DemParLvl} = |P(\hat{Y}=1|S=0) - P(\hat{Y}=1|S=1)|
+\end{equation*}
+C'est l'écart de prédiction positive entre la classe majoritair(par exemple les blancs, le hommes, ...) et la classe minoritaire (les noirs, les femmes, ...).
+\begin{propriete}
+    \label{prop:aia-dpl0}
+    Un classifieur qui satisfat la \textit{demographic parity} a n DemParLvl égale à zéro.
+\end{propriete}
+La démonstration est triviale à partir de la Définition~\ref{def:background-eq-dp}.
+
+DemPar est équivalante à dire que la prédiction du modèle est idépendante de l'attribut sensible.
+Nous remarquons que cette définition n'est ni restrainte à des problème de classification, ni à des attribute senssibles binaires ni même à des attribut sensibles qui prennent leurs valeur dans un ensemble fini.
+Ainsi nous définissons la notion suivante:
+\begin{definition}{\textit{Démographic parity} généralisée.}
+    \label{def:aia-dempargen}
+Soit $(\Omega,\mathcal{T},P$) un espace probabilisé.
+Soient $(E,\mathcal{E})$, $(F,\mathcal{F})$ et $(G,\mathcal{G})$ des espaces mesurables.
+Soient les variables aléatoires suivantes : 
+\begin{itemize}
+    \item $X:(\Omega,\mathcal{T})\rightarrow (E,\mathcal{E})$
+    \item $Y:(\Omega,\mathcal{T})\rightarrow (F,\mathcal{F})$
+    \item $S:(\Omega,\mathcal{T})\rightarrow (G,\mathcal{G})$
+    \item $f:(E,\mathcal{E})\rightarrow (F,\mathcal{F})$
+\end{itemize}
+Alors $f$ satisfait la \textit{demographic parity} généralisée si et seulement si 
+\begin{equation*}
+    P_{f\circ X,S} = P_{f\circ X}\otimes P_S
+\end{equation*}
+Dit autrement, si et seulement si le classifieur $f$ est un CCA pour prédire $S$ à partire de $X$.
+\end{definition}
+
+\begin{propriete}
+    Si un classifieur binaire satisfait la \textit{demographic parity} généralisée alors il satisfait la démographic parity.
+\end{propriete}
+
+\begin{proof}
+    En gardant les objets définits dans la Définition~\ref{def:aia-dempargen}, supposons que $f$ satisfasse la \textit{demographic parity} généralisée.
+    Alors, en notant $\hat{Y} = f\circ X$, comme $\mathcal{G} = \mathcal{F}=\mathcal{P}(\{0,1\})$, nous avons bien
+    \begin{equation*}
+        P(\hat{Y}=1\mid S=0) = P(\hat{Y}=1\mid S=1)
+    \end{equation*}
+\end{proof}
+
+Ainsi grâce à la Propriété~\ref{prop:aia-dpl0} nous savons que si un classifieur satisfait la \textit{demographic parity} généralisée, alors il a un DemParLvl égale à 0.
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