From 4aae3ea0427a6c9e9a8519a38d9d9d0ac5f0ec9c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Sat, 21 Sep 2024 16:27:27 +0200
Subject: fin intro

---
 background/alg.tex | 99 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 99 insertions(+)
 create mode 100644 background/alg.tex

(limited to 'background/alg.tex')

diff --git a/background/alg.tex b/background/alg.tex
new file mode 100644
index 0000000..b2f6418
--- /dev/null
+++ b/background/alg.tex
@@ -0,0 +1,99 @@
+\subsubsection{Espace vecotriel}
+Les espaces vectoriels sont des structure fondamentales qui vont nous servir à comprendre comment fonctionne l'entraînement des réseaux de neurones.
+\begin{definition}{Groupe}
+    Soit $E$ un ensemble et $+$ une opération sur $E$.
+    Nous dirons que $(E,+)$ est un groupe si et seulement si
+    \begin{enumerate}
+        \item $\forall (e,f)\in E^2~e+f\in E$ (loi interne)
+        \item $\forall (e,f,g)\in E^2~(e+f)+g=e+(f+g)$
+        \item $\exists 0\in E~\forall e\in E~e+0=e\wedge0+e=e$
+        \item $\forall a\in E\exists b\in E~a+b=e\wedge b+e=e$
+    \end{enumerate}
+    Dans le cas où en plus de ces trois points
+    $\forall (e,f)\in E^2~e+f=f+e$
+    Nous dirons que le groupe $(E,+)$ est abélien.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}{Espace vectoriel}
+    Soit $E$ un ensemble munit d'une loi interne $+$ et d'une loi externe $\cdot:\mathbb{R}\times E\rightarrow E$.
+    Sout les conditions suivantes, nous dirons que $(E,+,\cdot)$ est un espace vectoriel.
+    \begin{enumerate}
+        \item $(E,+)$ est un groupe abélien.
+        \item $\forall (r,e,f)\in\mathbb{R}\times E\times E~r(e+f)=re+rf$
+        \item $\forall (r,s,e)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times E~(r+s)e=re+se$
+        \item $\forall (r,s,e)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times E~(rs)e=r(se)$
+        \item $\forall e\in E~1e=e$
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+Alors $\forall n\in\mathbb{N}~\mathbb{R}^n$ est un espace vectoriel.
+
+\subsubsection{Application linéaire}
+\label{sec:background-alg-L}
+Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels.
+Une application linéaire $h:E\rightarrow F$ est telle que 
+$\forall (r,e,f)\in \mathbb{R}\times E\times E~h(re+f)=rh(e)+h(f)$ 
+Et on note $\mathcal{L}(E,F)$ l'ensemble des applications linéaire de $E$ dans $F$.
+Si $E=\mathbb{R}^m$ et $F=\mathbb{R}^n$ alors 
+la matrice de $f$ est 
+\begin{equation*}
+    M_f=
+    \left(
+    \begin{matrix}
+        f(e_0)_0&\cdots&f(e_{m-1})_0\\
+        \vdots&\vdots&\vdots\\
+        f(e_{0})_{n-1}&\cdots&f(e_{m-1})_{n-1}\\
+    \end{matrix}
+    \right)
+\end{equation*}
+Où 
+\begin{equation*}
+    \forall i\in m~e_i=\left(
+    \begin{matrix}
+        0\\
+        \vdots\\
+        0\\
+        1\\
+        0\\
+        \vdots\\
+        0
+    \end{matrix}
+    \right)
+    \begin{matrix}
+        \\
+        \\
+        \\
+        i\\
+        \\
+        \\
+        \\
+    \end{matrix}
+\end{equation*}
+On appelera par la suite $(e_0,\cdots,e_{m-1})$ \emph{base canonique} de $\mathbb{R}^m$.
+On note $f(e_j)_i = M_f(i,j)$, c'est l'entré de $M_f$ se situant à la ligne $i$ et colone $j$.
+
+\begin{propriete}
+    La fonction $M_\square$ est une bijection.
+\end{propriete}
+
+Nous définisson la mutliplication matricielle de la manière suiavante : 
+Soient $f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n)$ et $g\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^o)$.
+Alors 
+\begin{equation*}
+    M_gM_f=M{g\circ f}
+\end{equation*}
+\begin{propriete}
+\begin{equation*}
+    M_gM_f(i,j)=\sum_{k=0}^n M_g(i,k)M_f(k,j)
+\end{equation*}
+\end{propriete}
+
+\begin{definition}
+    \label{def:background-alg-tr}
+    Soit $M$ une matrice à $n$ lignes et colonnes.
+    Alors nous définisson la trace de $M$ de la manière suivante.
+    \begin{equation*}
+        \text{Tr}(M)=\sum_{i=0}^{n-1}M(i,i)
+    \end{equation*}
+\end{definition}
+
-- 
cgit v1.2.3

