From bd05e44ceb91c23e896677d49627a03aef56176f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Wed, 25 Sep 2024 15:24:16 +0200
Subject: Relecture Jan

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 background/alg.tex | 14 ++++++++------
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@@ -1,4 +1,4 @@
-\subsubsection{Espace vecotriel}
+\subsubsection{Espace vectoriel}
 Les espaces vectoriels sont des structure fondamentales qui vont nous servir à comprendre comment fonctionne l'entraînement des réseaux de neurones.
 \begin{definition}{Groupe}
     Soit $E$ un ensemble et $+$ une opération sur $E$.
@@ -16,7 +16,7 @@ Les espaces vectoriels sont des structure fondamentales qui vont nous servir à
 
 \begin{definition}{Espace vectoriel}
     Soit $E$ un ensemble munit d'une loi interne $+$ et d'une loi externe $\cdot:\mathbb{R}\times E\rightarrow E$.
-    Sout les conditions suivantes, nous dirons que $(E,+,\cdot)$ est un espace vectoriel.
+    Sous les conditions suivantes, nous dirons que $(E,+,\cdot)$ est un espace vectoriel.
     \begin{enumerate}
         \item $(E,+)$ est un groupe abélien.
         \item $\forall (r,e,f)\in\mathbb{R}\times E\times E~r(e+f)=re+rf$
@@ -69,14 +69,16 @@ Où
         \\
     \end{matrix}
 \end{equation*}
-On appelera par la suite $(e_0,\cdots,e_{m-1})$ \emph{base canonique} de $\mathbb{R}^m$.
-On note $f(e_j)_i = M_f(i,j)$, c'est l'entré de $M_f$ se situant à la ligne $i$ et colone $j$.
+On appellera par la suite $(e_0,\cdots,e_{m-1})$ \emph{base canonique} de $\mathbb{R}^m$.
+On note $f(e_j)_i = M_f(i,j)$, c'est l'entrée de $M_f$ se situant à la ligne $i$ et colonne $j$.
 
 \begin{propriete}
     La fonction $M_\square$ est une bijection.
 \end{propriete}
 
-Nous définisson la mutliplication matricielle de la manière suiavante : 
+Nous appelons $\mathbb{R}_{n,m}$ l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $m$ colonnes.
+
+Nous définissons la multiplication matricielle de la manière suivante : 
 Soient $f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n)$ et $g\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^o)$.
 Alors 
 \begin{equation*}
@@ -91,7 +93,7 @@ Alors
 \begin{definition}
     \label{def:background-alg-tr}
     Soit $M$ une matrice à $n$ lignes et colonnes.
-    Alors nous définisson la trace de $M$ de la manière suivante.
+    Alors nous définissons la trace de $M$ de la manière suivante.
     \begin{equation*}
         \text{Tr}(M)=\sum_{i=0}^{n-1}M(i,i)
     \end{equation*}
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