From 4aae3ea0427a6c9e9a8519a38d9d9d0ac5f0ec9c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Sat, 21 Sep 2024 16:27:27 +0200
Subject: fin intro

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 background/dif.tex | 95 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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index 0000000..2ba01f1
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+++ b/background/dif.tex
@@ -0,0 +1,95 @@
+Le but du calcul diférentiel est l'étude des variation infinitésimale des fonctions.
+Nous allons nous contenter ici d'étudier les fonctionelles, c'est à dire des fonction de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ car c'est ce dont nous allons avoir besoin en aprentissage automatique.
+\begin{definition}{Produit scalaire euclidien}
+    \label{def:background-dif-scal}
+    Soit $(x,y){\in\mathbb{R}^n}^2$ alors le produit scalaire euclidien est
+    \begin{equation*}
+        \langle x,y \rangle = \sum_{i=0}^{n-1}x_iy_i
+    \end{equation*}
+\end{definition}
+\begin{definition}{Norme euclidienne}
+    \label{def:background-dif-eucl}
+    Soit $x\in\mathbb{R}^n$, nous definisson le norme euclidienne de $x$ par l'expression suivante
+    \begin{equation*}
+        ||x||={\langle x,x\rangle}^{\frac{1}{2}}
+    \end{equation*}
+\end{definition} 
+
+\begin{definition}{Limite}
+    \label{def:background-dif-lim}
+    Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^m$ dans $\mathbb{R}^n$.
+    Soit $x\in\mathbb{R}^m$.
+    Nous dirons que $f$ admet une limite en $x$ si il existe $y\in\mathbb{R}^n$ tel que
+    \begin{equation*}
+        \forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall a\in\mathbb{R}^m~||a-x||<\delta\implies||f(a)-y||<\varepsilon
+    \end{equation*}
+    Nouse ecrivons alors $lim_{a\rightarrow x}f(a)=y$ car $y$ est alors unique~\cite{Bourrigan2021-dd}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}{Differentielle}
+    \label{def:background-dif-dif}
+    Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$.
+    Nous dirons que $f$ est différentiable en $a\in\mathbb{R}^n$ si et seulement si il existe 
+    $df(a)\in\mathbb{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$
+    telle que il existe $\varepsilon:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ telle que pour tout $h\in\mathbb{R}^n$
+    \begin{equation*}
+        f(a+h) = f(a)+df(a)h+||h||\varepsilon(h)
+    \end{equation*}
+    avec
+    $lim_{h\rightarrow 0}\varepsilon(h)=0$.
+    $df(a)$ s'apelle la \emph{diférentielle} de $f$ en $a$.
+\end{definition}
+Dans le cas où $f$ est différentiable en tout point de $\mathbb{R}^n$ alors 
+la fonction $f$ peut être vu comme $n$ fonction $f_0\cdots f_{n-1}$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ avec 
+\begin{equation*}
+    f(x)=\left(
+    \begin{matrix}
+        f_0(x_0)
+        \cdots
+        f_{n-1}(x_{n-1})
+    \end{matrix}
+    \right)
+\end{equation*}
+Toutes les fonctions de $f_i$ sont différentiables. 
+\begin{definition}
+    \label{def:background-math-grad}
+    Pour tout $x\in\mathbb{R}$ nous définison la $i$ème dérivée partielle de $f$ par
+    \begin{equation*}
+        \partial_i f :\left\{
+        \begin{matrix}
+            \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\\
+            x\mapsto df(x)e_i
+        \end{matrix}
+        \right.
+    \end{equation*}
+    Où $e_i$ est le $i$ème vecteur de la base canonique de $\mathbb{R}^n$.
+    Et nous définissons le gradient de $f$ par la formule suivante : 
+    \begin{equation*}
+        \nabla f:\left\{
+            \begin{matrix}
+                \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n\\
+                x\mapsto\left(
+                \begin{matrix}
+                    \partial_0 f(x)\\
+                    \vdots\\
+                    \partial_{n-1} f(x)\\
+                \end{matrix}
+                \right)
+            \end{matrix}
+        \right.
+    \end{equation*}
+\end{definition}
+Pour le.a lecteur.ice familier avec la dériviabilité notons que
+\begin{equation*}
+    lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+he_i)-f(x)}{h} = \partial_i f(x)
+\end{equation*}
+
+
+\begin{propriete}
+    Soit $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ différentiable.
+    \begin{equation*}
+        \forall (x+h)\in{\mathbb{R}^n}^2~df(x)h = 
+        \langle \nabla f(x),h\rangle
+    \end{equation*}
+\end{propriete}
+
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cgit v1.2.3

