From bd05e44ceb91c23e896677d49627a03aef56176f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Wed, 25 Sep 2024 15:24:16 +0200
Subject: Relecture Jan

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 background/dif.tex | 30 +++++++++---------------------
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index 2ba01f1..9435c24 100644
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+++ b/background/dif.tex
@@ -1,5 +1,5 @@
-Le but du calcul diférentiel est l'étude des variation infinitésimale des fonctions.
-Nous allons nous contenter ici d'étudier les fonctionelles, c'est à dire des fonction de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ car c'est ce dont nous allons avoir besoin en aprentissage automatique.
+Le but du calcul différentiel est l'étude des variations infinitésimales des fonctions.
+Nous allons nous contenter ici d'étudier les fonctionnelles, c'est-à-dire des fonction de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ car c'est ce dont nous allons avoir besoin en apprentissage automatique.
 \begin{definition}{Produit scalaire euclidien}
     \label{def:background-dif-scal}
     Soit $(x,y){\in\mathbb{R}^n}^2$ alors le produit scalaire euclidien est
@@ -9,7 +9,7 @@ Nous allons nous contenter ici d'étudier les fonctionelles, c'est à dire des f
 \end{definition}
 \begin{definition}{Norme euclidienne}
     \label{def:background-dif-eucl}
-    Soit $x\in\mathbb{R}^n$, nous definisson le norme euclidienne de $x$ par l'expression suivante
+    Soit $x\in\mathbb{R}^n$, nous définissons le norme euclidienne de $x$ par l'expression suivante
     \begin{equation*}
         ||x||={\langle x,x\rangle}^{\frac{1}{2}}
     \end{equation*}
@@ -23,37 +23,25 @@ Nous allons nous contenter ici d'étudier les fonctionelles, c'est à dire des f
     \begin{equation*}
         \forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall a\in\mathbb{R}^m~||a-x||<\delta\implies||f(a)-y||<\varepsilon
     \end{equation*}
-    Nouse ecrivons alors $lim_{a\rightarrow x}f(a)=y$ car $y$ est alors unique~\cite{Bourrigan2021-dd}.
+    Nous écrivons alors $lim_{a\rightarrow x}f(a)=y$ car $y$ est alors unique~\cite{Bourrigan2021-dd}.
 \end{definition}
 
-\begin{definition}{Differentielle}
+\begin{definition}{Différentielle}
     \label{def:background-dif-dif}
     Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$.
     Nous dirons que $f$ est différentiable en $a\in\mathbb{R}^n$ si et seulement si il existe 
     $df(a)\in\mathbb{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$
-    telle que il existe $\varepsilon:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ telle que pour tout $h\in\mathbb{R}^n$
+    telle que il existe $\varepsilon:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ telle que pour tout $h\in\mathbb{R}^n$
     \begin{equation*}
         f(a+h) = f(a)+df(a)h+||h||\varepsilon(h)
     \end{equation*}
     avec
     $lim_{h\rightarrow 0}\varepsilon(h)=0$.
-    $df(a)$ s'apelle la \emph{diférentielle} de $f$ en $a$.
+    $df(a)$ s'appelle la \emph{différentielle} de $f$ en $a$.
 \end{definition}
-Dans le cas où $f$ est différentiable en tout point de $\mathbb{R}^n$ alors 
-la fonction $f$ peut être vu comme $n$ fonction $f_0\cdots f_{n-1}$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ avec 
-\begin{equation*}
-    f(x)=\left(
-    \begin{matrix}
-        f_0(x_0)
-        \cdots
-        f_{n-1}(x_{n-1})
-    \end{matrix}
-    \right)
-\end{equation*}
-Toutes les fonctions de $f_i$ sont différentiables. 
 \begin{definition}
     \label{def:background-math-grad}
-    Pour tout $x\in\mathbb{R}$ nous définison la $i$ème dérivée partielle de $f$ par
+    Pour tout $x\in\mathbb{R}$ nous définissons la $i$ème dérivée partielle de $f$ par
     \begin{equation*}
         \partial_i f :\left\{
         \begin{matrix}
@@ -79,7 +67,7 @@ Toutes les fonctions de $f_i$ sont différentiables.
         \right.
     \end{equation*}
 \end{definition}
-Pour le.a lecteur.ice familier avec la dériviabilité notons que
+Pour le.a lecteur.ice familier avec la dérivabilité notons que
 \begin{equation*}
     lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+he_i)-f(x)}{h} = \partial_i f(x)
 \end{equation*}
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cgit v1.2.3

