From 411624f6f259084641deb92f20d512908c8b7d4f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Sat, 5 Oct 2024 19:25:34 +0200
Subject: Correction maman

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 background/proba.tex | 12 ++++++------
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+++ b/background/proba.tex
@@ -56,7 +56,7 @@ Nous définissons la mesure image de $f$ par $d$, que nous notons $d_f$, par l'e
     \right.
 \end{equation}
 
-\begin{definition}{Intégrale}
+\begin{definition}[Intégrale]
     Soit $(E,\mathcal{E},\mu)$ un espace mesuré.
     Pour une fonction $f=\sum_{i\in I}\alpha_i 1_{A_i}$, nous dirons étagée, 
     avec $\{A_i\mid i\in I\} \subset \mathcal{E}$ et $\alpha_i\in\mathbb{R}^+$.
@@ -74,8 +74,8 @@ Nous définissons la mesure image de $f$ par $d$, que nous notons $d_f$, par l'e
     \end{equation*}
 \end{definition}
 
-\begin{definition}{Mesure à densité}
-    Soit $(E,\mathcal{E},\mu)$ un espace mesuré et $f$ une fonctione mesurbale positive et intégrable.
+\begin{definition}[Mesure à densité]
+    Soit $(E,\mathcal{E},\mu)$ un espace mesuré et $f$ une fonction mesurable positive et intégrable.
     Nous définissons la mesure à densité de $f$ de la manière suivante :
     \begin{equation*}
         \mu.f:\left\{
@@ -101,13 +101,13 @@ Pour un évènement $a\in\mathcal{A}$ tel que $d(a)\neq 0$, la probabilité cond
 \end{equation*}
 La loi de probabilité d'une variable aléatoire $f$ sur $(X,\mathcal{X})$ est la mesure image de $f$ sur $d$.
 
-S'il existe une fonction mesurable $g$ telle que $P_f = P.g$  nous dirons que $f$ admet $g$ comme densité.
+Sb'il existe une fonction mesurable $g$ telle que $P_f = P.g$  nous dirons que $f$ admet $g$ comme densité.
 
-Nous dirons que deux variables aléatoires $f$ et $g$ sont indépendantes si et seulement si la loi de la variables aléatoire $h:\omega\mapsto (f(\omega),g(\omega))$ est la mesure produit de la loi de $f$ et $g$.
+Nous dirons que deux variables aléatoires $f$ et $g$ sont indépendantes si et seulement si la loi de la variable aléatoire $h:\omega\mapsto (f(\omega),g(\omega))$ est la mesure produit de la loi de $f$ et $g$.
 
 De plus, dans le cas des variables aléatoires, il est courant d'écrire $\{f\in A\}$ pour $f^{-1}(A)$ et $\{f=a\}$ pour $f^{-1}(\{a\})$.
 
-\begin{definition}{Espérance}
+\begin{definition}[Espérance]
     Pour une variable aléatoire $X$, on définit l'espérance de $X$ par la formule suivante.
     \begin{equation*}
         E(X) = \int_{\Omega}X(\omega)dP(\omega)
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