From 4aae3ea0427a6c9e9a8519a38d9d9d0ac5f0ec9c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Sat, 21 Sep 2024 16:27:27 +0200
Subject: fin intro

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@@ -56,6 +56,21 @@ Nous definisson la mesure image de $f$ par $d$, que nous notons $d_f$, par l'exp
     \right.
 \end{equation}
 
+\begin{definition}{Intégrale}
+    Soient $(E,\mathcal{E},\mu)$ et $(F,\mathcal{F},\nu)$ un espace mesuré.
+    Pour une fonction $f=\sum_{i\in I}\alpha_i 1_{A_i}$, nous dirons étagé, 
+    Avec $\{A_i\mid i\in I\} \subset \mathcal{F}$.
+    Alors $\int_E f d\nu= \sum_{i\in I}\alpha_i \nu(A_i)$.
+
+    Soit $g$ un fonction mesurable.
+    Alors il existe une suite $\{(f_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$ de fonctions étagés telle que $lim_{n\rightarrow +\infty} f_n = g$.
+    Voir la Définition~\ref{def:background-dif-lim} pour une définition de la limite.
+    On définit alors 
+    \begin{equation*}
+        \int_{E}gd\nu = lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{E}f_n d\nu
+    \end{equation*}
+\end{definition}
+
 Dans le cas particulier où $d(A) = 1$, nous appelons $d$ une mesure de probabilité.
  $(A,\mathcal{A},d)$ est alors un espace probailisé et les fonctions mesurables sur cet espace sont appelés variables aléatoires.
 Le loi de probabilité d'une variable aléatoire $f$ sur $(X,\mathcal{X})$ est la mesure image de $f$ sur $d$.
@@ -63,6 +78,13 @@ Nous dirons que deux variables aléatoire $f$ et $g$ sont indépendantes si et s
 
 De plus, dans le cas des variables aléatoires, il est courant de d'écrir $\{f\in A\}$ pour $f^{-1}(A)$ et $\{f=a\}$ pour $f^{-1}(\{a\})$.
 
+\begin{definition}{Esperence}
+    Pour une variable aléatoire $X$, on définit l'espérence de $X$ par la formule suivante.
+    \begin{equation*}
+        E(X) = \int_{\Omega}X(\omega)dP(\omega)
+    \end{equation*}
+\end{definition}
+
 
 %Having introduced probability theory, we explicit the relation with the ML theory described previously.
 %Let $I$ a finite set, $\mathcal{X}$, $\mathcal{S}$ and $\mathcal{Y}$ the sets of features, sensitive attribute and label.
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cgit v1.2.3

