From 5362d389988afb2750d27e7e6c5d401571dfba6e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Mon, 23 Sep 2024 20:54:42 +0200
Subject: Fini du background, ne manque plus que la relecture

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 background/proba.tex | 20 ++++++++++++--------
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@@ -57,20 +57,24 @@ Nous definisson la mesure image de $f$ par $d$, que nous notons $d_f$, par l'exp
 \end{equation}
 
 \begin{definition}{Intégrale}
-    Soient $(E,\mathcal{E},\mu)$ et $(F,\mathcal{F},\nu)$ un espace mesuré.
+    Soient $(E,\mathcal{E},\mu)$ un espace mesuré.
     Pour une fonction $f=\sum_{i\in I}\alpha_i 1_{A_i}$, nous dirons étagé, 
-    Avec $\{A_i\mid i\in I\} \subset \mathcal{F}$.
-    Alors $\int_E f d\nu= \sum_{i\in I}\alpha_i \nu(A_i)$.
+    Avec $\{A_i\mid i\in I\} \subset \mathcal{E}$ et $\alpha_i\in\mathbb{R}^+$.
+    alors $\int_E f d\mu= \sum_{i\in I}\alpha_i \mu(A_i)$.
 
-    Soit $g$ un fonction mesurable.
-    Alors il existe une suite $\{(f_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$ de fonctions étagés telle que $lim_{n\rightarrow +\infty} f_n = g$.
-    Voir la Définition~\ref{def:background-dif-lim} pour une définition de la limite.
-    On définit alors 
+    Soit $g$ un fonction mesurable de $(E,\mathcal{E},\mu)$ dans $\mathbb{R}^+$, alors
     \begin{equation*}
-        \int_{E}gd\nu = lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{E}f_n d\nu
+        \int_{E}gd\mu = sup\left\{\int_E fd\mu\mid f~\text{est étagé}\wedge f\leq g\right\}
+    \end{equation*}
+
+    Enfin dans le cas générale de $h$ une fonction mesurable de $(E,\mathcal{E},\mu)$ dans $\mathbb{R}$, alors
+    si $\int_E |h|d\mu\in\mathbb{R}$ on pose
+    \begin{equation*}
+        \int_E hd\mu = \int_E max(h,0)d\mu - \int_E max(-h,0)d\mu
     \end{equation*}
 \end{definition}
 
+
 Dans le cas particulier où $d(A) = 1$, nous appelons $d$ une mesure de probabilité.
  $(A,\mathcal{A},d)$ est alors un espace probailisé et les fonctions mesurables sur cet espace sont appelés variables aléatoires.
 Le loi de probabilité d'une variable aléatoire $f$ sur $(X,\mathcal{X})$ est la mesure image de $f$ sur $d$.
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cgit v1.2.3

