From 7fc151d6a198d13dc9e1374522ec396d72905d3f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Wed, 11 Sep 2024 11:08:02 +0200
Subject: Ajout notations

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@@ -13,6 +13,20 @@ Soit maintenant $A\subset\mathcal{P}(A)$, nous appellons $\sigma(A)$ la plus pet
 
 Nous appelons mesure, une fonction $d$ :$\mathcal{A}$ $\rightarrow$ $[0,+\infty]$ telle que $d(\emptyset) = 0$ et $d\left(\bigcup_{i\in \mathbb{N}} A_i\right) = \sum_{i\in \mathbb{N}}d(A_i)$ pour tout $(A_1, A_2, \cdots) \in \mathcal{A}^\mathbb{N} $ avec $\forall (i,j) A_i\cap A_j = \emptyset$.
 Nous disons alors que $(A, \mathcal{A}, d)$ est un espace mesuré.
+Pour un espace mesurable $(A,\mathcal{P}(A))$, la mesure de dirac est la mesure telle que pour $a\in A$ 
+\begin{equation*}
+    \delta_a : \left\{
+        \begin{matrix}
+        \mathcal{P}(A)\rightarrow \{0,1\}\\
+        B\mapsto\left\{
+            \begin{matrix}
+                1&\text{si}&a\in B\\
+                0&\text{sinon}&
+            \end{matrix}
+            \right.
+        \end{matrix}
+        \right.
+\end{equation*}
 
 Soit $(A, \mathcal{A}, d)$ et $(B, \mathcal{B}, e)$ deux espaces mesurés.
 Nous définissons alors 
@@ -47,6 +61,8 @@ Dans le cas particulier où $d(A) = 1$, nous appelons $d$ une mesure de probabil
 Le loi de probabilité d'une variable aléatoire $f$ sur $(X,\mathcal{X})$ est la mesure image de $f$ sur $d$.
 Nous dirons que deux variables aléatoire $f$ et $g$ sont indépendantes si et seulement si la loi de la variables aléatoire $h:\omega\mapsto (f(\omega),g(\omega))$ est la mesur produit de la loi de $f$ et $g$.
 
+De plus, dans le cas des variables aléatoires, il est courant de d'écrir $\{f\in A\}$ pour $f^{-1}(A)$ et $\{f=a\}$ pour $f^{-1}(\{a\})$.
+
 
 %Having introduced probability theory, we explicit the relation with the ML theory described previously.
 %Let $I$ a finite set, $\mathcal{X}$, $\mathcal{S}$ and $\mathcal{Y}$ the sets of features, sensitive attribute and label.
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cgit v1.2.3

