From cca6686ee7e6689d3fd229741742b177e194bc6a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Jan Aalmoes Date: Mon, 30 Sep 2024 11:52:16 +0200 Subject: =?UTF-8?q?densit=C3=A9?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- background/proba.tex | 16 ++++++++++++++++ 1 file changed, 16 insertions(+) (limited to 'background/proba.tex') diff --git a/background/proba.tex b/background/proba.tex index f4cbd96..ad43c11 100644 --- a/background/proba.tex +++ b/background/proba.tex @@ -74,6 +74,19 @@ Nous définissons la mesure image de $f$ par $d$, que nous notons $d_f$, par l'e \end{equation*} \end{definition} +\begin{definition}{Mesure à densité} + Soit $(E,\mathcal{E},\mu)$ un espace mesuré et $f$ une fonctione mesurbale positive et intégrable. + Nous définissons la mesure à densité de $f$ de la manière suivante : + \begin{equation*} + \mu.f:\left\{ + \begin{matrix} + \mathcal{E} \rightarrow \mathbb{R}^+\\ + e\mapsto\int_e f d\mu + \end{matrix} + \right. + \end{equation*} +\end{definition} + Dans le cas particulier où $d(A) = 1$, nous appelons $d$ une mesure de probabilité $(A,\mathcal{A},d)$ est alors un espace probabilisé et les fonctions mesurables sur cet espace sont appelées variables aléatoires. @@ -87,6 +100,9 @@ Pour un évènement $a\in\mathcal{A}$ tel que $d(a)\neq 0$, la probabilité cond \right. \end{equation*} La loi de probabilité d'une variable aléatoire $f$ sur $(X,\mathcal{X})$ est la mesure image de $f$ sur $d$. + +S'il existe une fonction mesurable $g$ telle que $P_f = P.g$ nous dirons que $f$ admet $g$ comme densité. + Nous dirons que deux variables aléatoires $f$ et $g$ sont indépendantes si et seulement si la loi de la variables aléatoire $h:\omega\mapsto (f(\omega),g(\omega))$ est la mesure produit de la loi de $f$ et $g$. De plus, dans le cas des variables aléatoires, il est courant d'écrire $\{f\in A\}$ pour $f^{-1}(A)$ et $\{f=a\}$ pour $f^{-1}(\{a\})$. -- cgit v1.2.3