From cca6686ee7e6689d3fd229741742b177e194bc6a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Mon, 30 Sep 2024 11:52:16 +0200
Subject: =?UTF-8?q?densit=C3=A9?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 background/proba.tex | 16 ++++++++++++++++
 1 file changed, 16 insertions(+)

(limited to 'background/proba.tex')

diff --git a/background/proba.tex b/background/proba.tex
index f4cbd96..ad43c11 100644
--- a/background/proba.tex
+++ b/background/proba.tex
@@ -74,6 +74,19 @@ Nous définissons la mesure image de $f$ par $d$, que nous notons $d_f$, par l'e
     \end{equation*}
 \end{definition}
 
+\begin{definition}{Mesure à densité}
+    Soit $(E,\mathcal{E},\mu)$ un espace mesuré et $f$ une fonctione mesurbale positive et intégrable.
+    Nous définissons la mesure à densité de $f$ de la manière suivante :
+    \begin{equation*}
+        \mu.f:\left\{
+            \begin{matrix}
+                \mathcal{E} \rightarrow \mathbb{R}^+\\
+                e\mapsto\int_e f d\mu
+            \end{matrix}
+            \right.
+    \end{equation*}
+\end{definition}
+
 
 Dans le cas particulier où $d(A) = 1$, nous appelons $d$ une mesure de probabilité
  $(A,\mathcal{A},d)$ est alors un espace probabilisé et les fonctions mesurables sur cet espace sont appelées variables aléatoires.
@@ -87,6 +100,9 @@ Pour un évènement $a\in\mathcal{A}$ tel que $d(a)\neq 0$, la probabilité cond
         \right.
 \end{equation*}
 La loi de probabilité d'une variable aléatoire $f$ sur $(X,\mathcal{X})$ est la mesure image de $f$ sur $d$.
+
+S'il existe une fonction mesurable $g$ telle que $P_f = P.g$  nous dirons que $f$ admet $g$ comme densité.
+
 Nous dirons que deux variables aléatoires $f$ et $g$ sont indépendantes si et seulement si la loi de la variables aléatoire $h:\omega\mapsto (f(\omega),g(\omega))$ est la mesure produit de la loi de $f$ et $g$.
 
 De plus, dans le cas des variables aléatoires, il est courant d'écrire $\{f\in A\}$ pour $f^{-1}(A)$ et $\{f=a\}$ pour $f^{-1}(\{a\})$.
-- 
cgit v1.2.3

