From dc5a898dc39326fa3f733f3d9e006bbe3d1f8e4c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Thu, 29 Aug 2024 10:58:32 +0200
Subject: Fin ensemble et fonctions, debut ML et Mesure/Proba

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-Probability theory is deeply linked with machine learning and most of the properties of machine learning, such as differential privacy, fairness definitions, utility metrics... are often mathematically written within this framework.
-This paper does not differ and hence we provide a short background of this field and how it connects with the previously defined notions of ML introduced in section \ref{sec:ml}.
+La théorie des probability est profondément liée au machine learning.
+Les propriétés de modèles comme la confidentialité différencielle, les définitions d'équitée, les métriques d'utilité, etc. que nous aborderons en Section~\ref{sec:background-ml} s'ecrivent en terme de probabilité.
+Ainsi nous présentons les notions de probabitlié et de théorie d la mesure que nous allons utiliser.
+A la manière de la Section~\ref{sec:background-set}, notre présentation à principalement le but de fixer les objets que nous utiliserons dans les prochaines sections et nous pas d'être un cours complet. 
+Si le lecteur souhaite en apprendre plus sur la theorie de la mesur nous le renvoyons vers les notes de cours de Thierry Gallay de l'université Joseph Fourrier~\cite{mesure}.
+Si il souhait explorer plus en avant les probabilités il poura consulter les notes de cour de Jean-François Le Gall de l'Ecole Normale Supérieur de Paris~\cite{proba}.
 
 Soit $A$ un ensemble.
-L'ensemble des parties de $A$ est $\mathcal{P}(A)$. 
-Chaque élément $a \in \mathcal{P}(A)$ est tel que $a \subset A$.
-Une tribue $\mathcal{A}$ est un sous esemble de $\mathcal{P}(A)$ qui contien $\emptyset$, $A$ par complémentaire est union dénombrable.
+Nous appelons une tribue que nous notons $\mathcal{A}$ un sous esemble de $\mathcal{P}(A)$ qui contien $\emptyset$ et $A$, qui est stable par complémentaire et qui est stable par union d'un nombre dénombrable d'elements de $\mathcal{A}$.
 Nous disons que $(A,\mathcal{A})$ est un espace mesurable.
-Une mesure $d$ est une fonction $d$:$\mathcal{A}$ $\rightarrow$ $[0,+\infty]$ telle que $d(\emptyset) = 0$ et $d\left(\bigcup_{i\in \mathbb{N}} A_i\right) = \sum_{i\in \mathbb{N}}d(A_i)$ pour chaque $(A_1, A_2, \cdots) \in \mathcal{A}^\mathbb{N} $ avec $\forall (i,j) A_i\cap A_j = \emptyset$.
+
+Nous appelons mesure, une fonction $d$ :$\mathcal{A}$ $\rightarrow$ $[0,+\infty]$ telle que $d(\emptyset) = 0$ et $d\left(\bigcup_{i\in \mathbb{N}} A_i\right) = \sum_{i\in \mathbb{N}}d(A_i)$ pour tout $(A_1, A_2, \cdots) \in \mathcal{A}^\mathbb{N} $ avec $\forall (i,j) A_i\cap A_j = \emptyset$.
 Nous disons alors que $(A, \mathcal{A}, d)$ est un espace mesuré.
-Nous appelons fonction mesurable un fonction de $A$ à $B$ telle que  $\forall b\in\mathcal{B}$~$f^{-1}(b)\in\mathcal{A}$.
+
+Nous appelons fonction mesurable, une fonction de $A$ à $B$ telle que  $\forall b\in\mathcal{B}$~$f^{-1}(b)\in\mathcal{A}$.
 Nous notons alors $f:(A, \mathcal{A})\rightarrow (B, \mathcal{B})$ ou $f:(A, \mathcal{A},d)\rightarrow (B, \mathcal{B})$
 
 Dans le cas particulier où $d(A) = 1$, nous appelons $d$ une mesure de probabilité.
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