From 4aae3ea0427a6c9e9a8519a38d9d9d0ac5f0ec9c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Sat, 21 Sep 2024 16:27:27 +0200
Subject: fin intro

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@@ -6,6 +6,7 @@ Nous allons présenter ZF de manière assez succinte, juste suffisante pour réa
 Si le lecteur souhaite plus de détail sur ces théories nous le renvoyons à \textit{Elements of set thoery} de Herbert B. Enderton~\cite{enderton1977elements}.
 
 \subsubsection{Axiomes de la théroie ZF}
+\label{sec:background-math-zf}
 Nous présentons dans cette section les axiomes de la théorie ZF.
 Ces axiomes sont la pierre angulaire des tous les dévleppoements mathématiques que nous ferons dans ce manuscrit.
 Pour un lecteur qui ne serai pas familier de cette théorie, disons qu'il s'agit de modéliser formellement le principe d'ensemble.
@@ -43,6 +44,7 @@ Pour toute formule $F$ (au sens du clacul des prédicats et du vocabulaire $\in$
 $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
 
 \begin{definition}[Intersection]
+    \label{def:background-math-int}
     Pour des ensembles $A$ et $B$,
     \begin{equation*}
         A\cap B=\{a\in A\mid a\in B\}
@@ -54,6 +56,7 @@ $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[Fonctions]
+    \label{def:background-fct}
 
     \textbf{2-uplet.}
     Nous définissons pour tout ensemble $A$ et $B$ le \emph{2-uplet} $(A,B)$ par $\{\{A\},\{A,B\}\}$.
@@ -96,6 +99,16 @@ $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
             \right.
     \end{equation*}
 
+    Pour deux fonctions $f:E\rightarrow F$ et $g:F\rightarrow G$ nous notons 
+    \begin{equation*}
+        g\circ f:\left\{
+            \begin{matrix}
+                E\rightarrow G\\
+                x\mapsto g(f(x))
+            \end{matrix}
+            \right.
+    \end{equation*}
+
     Pour une expression $f(x)$, quand cela est pertinant nous noterons $f(\square)$ la fonction $f:x\mapsto f(x)$ quand il n'y a pas d'ambiguitée sur le domaine et codomaine.
 
     \textbf{Produit cartésien.}
@@ -139,6 +152,7 @@ Où $a^+ = a\cup \{a\}$.
 Nous appelons un tel $A$, un ensemble récursif.
 
 \begin{definition}[Ensemble usuels]
+    \label{def:background-set-usu}
 
     \textbf{Entiers.}
 Soit $C$ la classe des ensembles récursif.
@@ -221,6 +235,7 @@ Soit $F(a,b)$ un formule qui ne dépend pas de $B$.
 \end{equation}
 
 \subsubsection{Arithmétique}
+\label{sec:background-set-ari}
 Avec un niveau d'abstraction supplémentaire, nous considérons désormais que $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
 Cela est possible grace aux injéctions canoniques suivantes : 
 \begin{equation}
@@ -272,10 +287,12 @@ Outre les opératiosn usuelles, nous allons avoir aussi besoin de quelques fonct
 \end{itemize}
 
 \subsubsection{Intervalle}
+\label{sec:background-math-int}
 Pour $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ avec $a\leq b$ nous définissone l'intervalle $[a,b]$ de la manière suivant : $\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\wedge x\leq b\}$.
 Et aussi sa contrepartie entière : $[|a,b|] = [a,b]\cap\mathbb{N}$.
 
 \subsubsection{Cardinal}
+\label{sec:background-math-card}
 La notion de cardinal cherche à comparer la taille d'ensembles arbitraires.
 Nous n'allons pas ici considérer la théorie de ordinaux de Van Neumann qui compléte notre simplification.
 Le lecteur souhaitant aller plus loin et apprendre cette théorie peut se référer aux chapitres 6,7,8 et 9 de \textit{Elements of set thoery} de Herbert B. Enderton~\cite{enderton1977elements}.
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cgit v1.2.3

