From 57715cacec8d0f0d3d1436a26f92ae5c0f0e128e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Tue, 27 Aug 2024 21:07:18 +0200
Subject: debut du background sur ZF

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 background/set.tex | 77 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 77 insertions(+)
 create mode 100644 background/set.tex

(limited to 'background/set.tex')

diff --git a/background/set.tex b/background/set.tex
new file mode 100644
index 0000000..c058648
--- /dev/null
+++ b/background/set.tex
@@ -0,0 +1,77 @@
+Commencons donc cette section préliminaire avec les définitions et quelques porpiété des ensemble et de fonctions.
+Commencons par les ensembles.
+Nous utilisons ici la théorie des ensembles Zermelo–Fraenkel (ZF).
+Si nous avons, dans ce manuscrit, besoin d'objet plus grand que les ensembles, nous les appelerons classes bien qu'il soit hors de propos de présenter ici la théorie Von Neumann–Bernays–Gödel (NBG).
+Nous allons présenter ZF de manière assez succinte, juste suffisante pour réaliser les clalculs du Chapitre~\ref{sec:fini}.
+Si le lecteur souhaite plus de détail sur ces théories nous le renvoyons à \textit{Elements of set thoery} de Herbert B. Enderton~\cite{enderton1977elements}.
+
+\subsubsection{Axiomes de la théroie ZF}
+Nous présentons dans cette section les axiomes de la théorie ZF.
+Ces axiomes sont la pierre angulaire des tous les dévleppoements mathématiques que nous ferons dans ce manuscrit.
+Pour un lecteur qui ne serai pas familier de cette théorie, disons qu'il s'agit de modéliser formellement le principe d'ensemble.
+C'est à dire le principe de ranger des choses, les éléments, dans des boîtes, les ensembles.
+
+\paragraph{Axiome d'Extensionnalité} 
+Deux ensemble $A$ et $B$ sont égaut si et seulement si ils ont les mêmes éléments.
+\begin{equation}
+\forall A\forall B (\forall x~x\in A \iff x\in B) \implies A=B
+\end{equation}
+
+\paragraph{Axiome de l'Ensemble vide}
+Il exite un ensemble qui ne contient aucun élément.
+Nous le notons donc $\{\}$ ou $\emptyset$.
+
+\paragraph{Axiome de la Paire}
+\begin{equation}
+\forall A \forall B \exists \{A,B\}\forall c(c\in \{A,B\}\iff c=A\vee c=B)
+\end{equation}
+
+\paragraph{Axiome de l'Union}
+Pour tout ensembles $A$, il exist un ensemble $\bigcup A$ qui soit exactement composé des éléments de chaque élément de $A$.
+\begin{equation}
+\forall A \exists \bigcup A \forall b \left(b\in\bigcup A\iff \exists a\in A~ b\in a\right)
+\end{equation}
+
+\paragraph{Axiome de l'ensemble des parties}
+Pour tout ensemble $A$ il existe un ensemble $\mathcal{P}(A)$ qui est l'ensemble des sous-ensembles (ou parties) de $A$.
+\begin{equation}
+\forall A \exists \mathcal{P}(A) ~ P\subset A \iff P\in \mathcal{P}(A)
+\end{equation}
+
+\paragraph{Axiome \textit{Aussonderung}}
+Pour toute formule $F$ (au sens du clacul des prédicats et du vocabulaire $\in$, $=$) qui ne pédend pas de $B$ et tout ensemble A, il existe un ensemble $B = \{a\in A | F\}$ qui est tel que 
+$\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
+
+\paragraph{Axiome du choix}
+\begin{definition}[Fonction]
+qsdf
+\end{definition}
+
+\paragraph{Axiome de l'infini}
+\begin{equation}
+\exists A\forall a\in A~(\emptyset \in A \wedge a^+\in A)
+\end{equation}
+Où $a^+ = a\cup \{a\}$.
+Nous appelons un tel $A$, un ensemble récursif.
+
+\begin{definition}[Ensemble usuels]
+Soit $C$ la classe des ensembles récursif.
+Soit $A$ un ensemble récursif.
+Nous appelons $\mathbb{N}$ l'ensemble des entier naturels que nous définissons comme suit :
+\begin{equation}
+\mathbb{N} = \{n\in A~|~\forall c\in C~n\in c\}
+\end{equation}
+$\mathbb{N}$ est bien en ensemble d'après l'axiome Aussonderung.
+Cette construction permet de définir les opérations d'addition et de multiplication~\cite{enderton1977elements} ainsi que les autres ensembles usuels qui nous utiliserons dans ce manuscrit.
+Ainsi nous définisson $\mathbb{Z} = \{$ : l'ensemble des entiers relatifs l'union de $\mathbb{N}$ et de $-\mathbb{N} = \{$
+
+\end{definition}
+
+\paragraph{Axiome de remplacement}
+
+\paragraph{Axiome de régularitée}
+
+
+
+
+
-- 
cgit v1.2.3


From dc5a898dc39326fa3f733f3d9e006bbe3d1f8e4c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Thu, 29 Aug 2024 10:58:32 +0200
Subject: Fin ensemble et fonctions, debut ML et Mesure/Proba

---
 background/set.tex | 176 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---
 1 file changed, 169 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'background/set.tex')

diff --git a/background/set.tex b/background/set.tex
index c058648..2e660f6 100644
--- a/background/set.tex
+++ b/background/set.tex
@@ -42,11 +42,58 @@ Pour tout ensemble $A$ il existe un ensemble $\mathcal{P}(A)$ qui est l'ensemble
 Pour toute formule $F$ (au sens du clacul des prédicats et du vocabulaire $\in$, $=$) qui ne pédend pas de $B$ et tout ensemble A, il existe un ensemble $B = \{a\in A | F\}$ qui est tel que 
 $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
 
-\paragraph{Axiome du choix}
-\begin{definition}[Fonction]
-qsdf
+\begin{definition}[Fonctions]
+
+    \textbf{2-uplet.}
+    Nous définissons pour tout ensemble $A$ et $B$ le \emph{2-uplet} $(A,B)$ par $\{\{A\},\{A,B\}\}$.
+
+    \textbf{Relation.}
+    Nous appelons \emph{relation} un ensemble de 2-uplets.
+    L'\emph{ensemble de définision} d'une relation $R$ est 
+    $\mathcal{D}_R = \{x~|~\exists y~(x,y)\in R\}$.
+    L'\emph{image} d'une relation est $Img(R) = \{y~|~\exists x~(x,y)\in R\}$.
+    Une relation symmetrique ($\forall x\forall y~(x,y)\in R \iff (y,x)\in R$), 
+    reflexive ($\forall x~(x,x)\in R$) et
+    transitive ($\forall x\forall y\forall z~(x,y)\in R\wedge (y,z)\in R\implies (x,z)\in R $) 
+    est appelé une \emph{relation d'équivalance}.
+    Pour tout $a$, nous notons $[a]_R = \{b~|~(a,b)\in R\}$ la \emph{classes d'équivalance} de $a$.
+    Nous notons $A/R$ l'ensemble des classes d'équivlance d'une relation $R$ sur un ensemble $A$.
+
+    \textbf{Fonction.}
+    Une \emph{fonction} $f$ est un relation telle que
+    \begin{equation}
+    \forall x\in D_f\left((x,y)\in f\wedge (x,z)\in f\implies y=z\right)
+    \end{equation}
+    Pour tout ensemble $E$ et $F$ tels que $D_f\subset E$ et $Img(f)\subset F$ nous notons 
+    \begin{equation}
+        f:
+        \left\{
+        \begin{matrix}
+            E\rightarrow F\\
+           x\mapsto f(x)
+        \end{matrix}
+        \right.
+    \end{equation}
+    Où la notation $x\mapsto f(x)$ signifie que $(x,f(x))\in f$.
+
+    \textbf{Produit cartésien.}
+    Soit $A$ un ensemble $f$ une fonctions
+    \begin{equation}
+        \bigtimes_{a\in A}f(a) = 
+        \left\{
+            g~|~D_g=A\wedge (\forall a\in A~g(i)\in f(i))
+        \right\}
+    \end{equation}
+
 \end{definition}
 
+\paragraph{Axiome du choix}
+Cette axiome nous assure qui si tous les termers du produit cartérise sons non-vides alors le produits cartésien est non-vide.
+\begin{equation}
+    \forall a\in A f(a)\neq\emptyset \implies 
+        \bigtimes_{a\in A}f(a) \neq\emptyset
+\end{equation}
+
 \paragraph{Axiome de l'infini}
 \begin{equation}
 \exists A\forall a\in A~(\emptyset \in A \wedge a^+\in A)
@@ -55,6 +102,8 @@ Où $a^+ = a\cup \{a\}$.
 Nous appelons un tel $A$, un ensemble récursif.
 
 \begin{definition}[Ensemble usuels]
+
+    \textbf{Entiers.}
 Soit $C$ la classe des ensembles récursif.
 Soit $A$ un ensemble récursif.
 Nous appelons $\mathbb{N}$ l'ensemble des entier naturels que nous définissons comme suit :
@@ -62,16 +111,129 @@ Nous appelons $\mathbb{N}$ l'ensemble des entier naturels que nous définissons
 \mathbb{N} = \{n\in A~|~\forall c\in C~n\in c\}
 \end{equation}
 $\mathbb{N}$ est bien en ensemble d'après l'axiome Aussonderung.
-Cette construction permet de définir les opérations d'addition et de multiplication~\cite{enderton1977elements} ainsi que les autres ensembles usuels qui nous utiliserons dans ce manuscrit.
-Ainsi nous définisson $\mathbb{Z} = \{$ : l'ensemble des entiers relatifs l'union de $\mathbb{N}$ et de $-\mathbb{N} = \{$
+    Cette construction permet de définir les opérations d'addition ($+$) et de multiplication ($\cdot$)~\cite{enderton1977elements}. 
 
-\end{definition}
+\textbf{Entiers relatifs.}
+La relation 
+\begin{equation}
+    R = 
+    \left\{ 
+    ((a,b),(c,d))\in{\mathbb{N}^2}^2~|~
+    a+d = b+c
+    \right\}
+\end{equation}
+est une relation d'équivalance sur $\mathbb{N}^2$.
+    Nous définissons alors l'ensemble des \emph{entiers relatifs} $\mathbb{Z}=\mathbb{N}^2/R$. 
 
-\paragraph{Axiome de remplacement}
+\textbf{Nombres rationels.}
+La relation 
+\begin{equation}
+    S = 
+    \left\{ 
+    ((a,b),(c,d))\in{\left(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*\right)}^2~|~
+    a\cdot d = b\cdot c
+    \right\}
+\end{equation}
+    est une relation d'équivalance sur $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*$.
+    Nous définissons alors l'ensemble des \emph{Nombres rationels} $\mathbb{Q}=\left(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*\right)/S$.
+
+\textbf{Nombres réels}
+    \begin{definition}[Suite de Cauchy]
+        Une \emph{suite} $u$ sur un ensemble de $A$ est une fonction de $\mathbb{N}$ dans $A$. On note $u(n) = u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
+
+        Une \emph{suite de Cauchy} $u$ sur $\mathbb{Q}$ est elle que 
+        \begin{equation}
+            \forall \varepsilon\in\mathbb{Q}~
+            \exists N\in\mathbb{N}~
+            \forall (a,b) \in \mathbb{N}^2~
+            a\geq N\wedge b\geq N \implies
+            |u_a-u_b|\leq\varepsilon
+        \end{equation}
+
+        Soit $C$ l'ensemble des suite de Cauchy sur $\mathbb{Q}$.
+    \end{definition}
+
+La relation 
+\begin{equation}
+    T = 
+    \left\{ 
+    (u,v)\in C^2~|~
+    \forall\varepsilon~
+    \exists N\in\mathbb{N}~
+    \forall (a,b)\in\mathbb{N}^2~
+    a\geq N\wedge b\geq N \implies
+    |u_a-v_b|\leq\varepsilon
+    \right\}
+\end{equation}
+    est une relation d'équivalance sur $C^2$.
+    Nous définissons alors l'ensemble des \emph{Nombres réels} $\mathbb{R}=C/T$.
+
+\end{definition}
 
 \paragraph{Axiome de régularitée}
+Tout ensemble non-vide a un élément disjoint de cet ensemble.
 
+\paragraph{Axiome de remplacement}
+Soit $F(a,b)$ un formule qui ne dépend pas de $B$.
+\begin{equation}
+    \forall A\forall y\forall z
+    \left(
+    \forall (x\in A~F(x,y)\wedge F(x,z)\implies x=z)\implies
+    (\exists B~B=\{y~|~\exists x\in A~F(x,y)\})
+    \right)
+\end{equation}
 
+\subsubsection{Arithmétique}
+Avec un niveau d'abstraction supplémentaire, nous considérons désormais que $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
+Cela est possible grace aux injéctions canoniques suivantes : 
+\begin{equation}
+    \left\{
+        \begin{matrix}
+            \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}\\
+            n\mapsto (n,0)
+        \end{matrix}
+    \right.
+\end{equation}
 
+\begin{equation}
+    \left\{
+        \begin{matrix}
+            \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Q}\\
+            (a,b)\mapsto ((a,b),(1,1))
+        \end{matrix}
+    \right.
+\end{equation}
 
+\begin{equation}
+    \left\{
+        \begin{matrix}
+            \mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{R}\\
+            (a,b)\mapsto 
+            \left[
+                \left\{
+                    \begin{matrix}
+                        \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Q}\\
+                        n\mapsto (a,b)
+                    \end{matrix}
+                \right.
+            \right]_T
+        \end{matrix}
+    \right.
+\end{equation}
 
+Nous identifions aussi $\mathbb{R}$ aux réprésentation en base 10 de ses éléments.
+Et nous utiliserons les opérations usuelles $+$, $\cdot$, $-$ et $/$ ainsi que la relation d'ordre $<$ sur ces représentation.
+En générale il est possible de construire ces opérations sans utiliser la représentation en base 10~\cite{enderton1977elements} mais une telle construction est hors de propos pour ce manuscrit.
+
+\subsubsection{Cardinal}
+La notion de cardinal cherche à comparer la taille d'ensembles arbitraires.
+Nous n'allons pas ici considérer la théorie de ordinaux de Van Neumann qui compléte notre simplification.
+Le lecteur souhaitant aller plus loin et apprendre cette théorie peut se référer aux chapitres 6,7,8 et 9 de \textit{Elements of set thoery} de Herbert B. Enderton~\cite{enderton1977elements}.
+Notre simplification est ce suffit à elle même pour les dévelopement qui nous allons présenter dans ce manuscrit.
+
+Nous dirons donc que tout ensemble $A$ à un cardinal que nous noterons $\#A$.
+Si $A$ est en bijection avec  $n\in\mathbb{N}$ alors $\#A = n$.
+Nous dirons alors que $A$ est un ensemble fini.
+Dans le cas contraite nous dirons que $A$ est infini.
+Si $A$ est en bijection avec un sous ensemble de $\mathbb{N}$ nous dirons que $A$ est dénombrable et que sons cardinal est $\#A = \aleph_0$.
+Enfin nous dirons que deux ensemble arbitraires ont le même cardinal si et seulement si ils sont en bijection.
-- 
cgit v1.2.3


From 0e95544f85b523a95fb05b36c4e6b8789c73abfa Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Wed, 4 Sep 2024 00:12:49 +0200
Subject: traduction classification fini

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 background/set.tex | 4 ++++
 1 file changed, 4 insertions(+)

(limited to 'background/set.tex')

diff --git a/background/set.tex b/background/set.tex
index 2e660f6..b45e302 100644
--- a/background/set.tex
+++ b/background/set.tex
@@ -85,6 +85,10 @@ $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
         \right\}
     \end{equation}
 
+    Nous dirons qu'une fonction $f:E\rightarrow F$ est injective si et seulement si $\forall (x,y)\in E^2(f(x)=f(y)\implies x=y$).
+    Nous dirons aussi que $f$ est surjective si et sulement si $\forall y\in F\exists x\in E~f(x)=y$.
+    Dans le cas où $f$ serait à la fois injective et surjective nous dirons qu'elle est bijective et que les ensembles $E$ et $F$ sont en bijection.
+
 \end{definition}
 
 \paragraph{Axiome du choix}
-- 
cgit v1.2.3


From 7fc151d6a198d13dc9e1374522ec396d72905d3f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Wed, 11 Sep 2024 11:08:02 +0200
Subject: Ajout notations

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 background/set.tex | 52 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---
 1 file changed, 49 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'background/set.tex')

diff --git a/background/set.tex b/background/set.tex
index b45e302..e011510 100644
--- a/background/set.tex
+++ b/background/set.tex
@@ -42,6 +42,17 @@ Pour tout ensemble $A$ il existe un ensemble $\mathcal{P}(A)$ qui est l'ensemble
 Pour toute formule $F$ (au sens du clacul des prédicats et du vocabulaire $\in$, $=$) qui ne pédend pas de $B$ et tout ensemble A, il existe un ensemble $B = \{a\in A | F\}$ qui est tel que 
 $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
 
+\begin{definition}[Intersection]
+    Pour des ensembles $A$ et $B$,
+    \begin{equation*}
+        A\cap B=\{a\in A\mid a\in B\}
+    \end{equation*}
+    et
+    \begin{equation*}
+        A\backslash B=\{a\in A\mid \neg(a\in B)\}
+    \end{equation*}
+\end{definition}
+
 \begin{definition}[Fonctions]
 
     \textbf{2-uplet.}
@@ -75,21 +86,43 @@ $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
         \right.
     \end{equation}
     Où la notation $x\mapsto f(x)$ signifie que $(x,f(x))\in f$.
+    En particulier, la fonction identitée est telle que 
+    \begin{equation*}
+        id_E:\left\{
+            \begin{matrix}
+                E\rightarrow E\\
+                x\mapsto x
+            \end{matrix}
+            \right.
+    \end{equation*}
+
+    Pour une expression $f(x)$, quand cela est pertinant nous noterons $f(\square)$ la fonction $f:x\mapsto f(x)$ quand il n'y a pas d'ambiguitée sur le domaine et codomaine.
 
     \textbf{Produit cartésien.}
-    Soit $A$ un ensemble $f$ une fonctions
+    Soit $A$ un ensemble $f$ une fonctions le produit cartésien est
     \begin{equation}
         \bigtimes_{a\in A}f(a) = 
         \left\{
-            g~|~D_g=A\wedge (\forall a\in A~g(i)\in f(i))
+            g~|~D_g=A\wedge (\forall a\in A~g(a)\in f(a))
         \right\}
     \end{equation}
 
+    Si $A=\{i,j\}$ et $f(i)=B$ et $f(j)=C$ nous notons le produit cartésien : $B\times C$.
+    Si pour tout $a\in A~f(a)=B$ nous notons le produit cartésien $B^{A}$.
+\end{definition}
+
+
+
+
     Nous dirons qu'une fonction $f:E\rightarrow F$ est injective si et seulement si $\forall (x,y)\in E^2(f(x)=f(y)\implies x=y$).
     Nous dirons aussi que $f$ est surjective si et sulement si $\forall y\in F\exists x\in E~f(x)=y$.
     Dans le cas où $f$ serait à la fois injective et surjective nous dirons qu'elle est bijective et que les ensembles $E$ et $F$ sont en bijection.
 
-\end{definition}
+    Pour une bijection $f$ de $E$ dans $F$ nous notons $f^{-1} : y\mapsto x~\text{tel que}~f(x)=y$.
+    Dans le cas où $f$ n'est pas bijective, nous définison cette notation de la manière suivant :
+    pour $B\subset F$,
+    $f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B$.
+
 
 \paragraph{Axiome du choix}
 Cette axiome nous assure qui si tous les termers du produit cartérise sons non-vides alors le produits cartésien est non-vide.
@@ -229,6 +262,19 @@ Nous identifions aussi $\mathbb{R}$ aux réprésentation en base 10 de ses élé
 Et nous utiliserons les opérations usuelles $+$, $\cdot$, $-$ et $/$ ainsi que la relation d'ordre $<$ sur ces représentation.
 En générale il est possible de construire ces opérations sans utiliser la représentation en base 10~\cite{enderton1977elements} mais une telle construction est hors de propos pour ce manuscrit.
 
+Outre les opératiosn usuelles, nous allons avoir aussi besoin de quelques fonction particulière :
+\begin{itemize}
+    \item La factorielle : pour $n\in\mathbb{N}~n!=n(n-1)\cdots1$.
+    \item La division euclidienne : pour 
+        $(a,b)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}^*~\exists (q,r)\in\left(\mathbb{N}^*\right)^2~
+        a=qb+r\wedge b(q+1)>a$.
+        $q$ est appellé quotient et $r$ reste de la division de $a$ par $b$.
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{Intervalle}
+Pour $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ avec $a\leq b$ nous définissone l'intervalle $[a,b]$ de la manière suivant : $\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\wedge x\leq b\}$.
+Et aussi sa contrepartie entière : $[|a,b|] = [a,b]\cap\mathbb{N}$.
+
 \subsubsection{Cardinal}
 La notion de cardinal cherche à comparer la taille d'ensembles arbitraires.
 Nous n'allons pas ici considérer la théorie de ordinaux de Van Neumann qui compléte notre simplification.
-- 
cgit v1.2.3


From 4aae3ea0427a6c9e9a8519a38d9d9d0ac5f0ec9c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Sat, 21 Sep 2024 16:27:27 +0200
Subject: fin intro

---
 background/set.tex | 17 +++++++++++++++++
 1 file changed, 17 insertions(+)

(limited to 'background/set.tex')

diff --git a/background/set.tex b/background/set.tex
index e011510..5aaffdd 100644
--- a/background/set.tex
+++ b/background/set.tex
@@ -6,6 +6,7 @@ Nous allons présenter ZF de manière assez succinte, juste suffisante pour réa
 Si le lecteur souhaite plus de détail sur ces théories nous le renvoyons à \textit{Elements of set thoery} de Herbert B. Enderton~\cite{enderton1977elements}.
 
 \subsubsection{Axiomes de la théroie ZF}
+\label{sec:background-math-zf}
 Nous présentons dans cette section les axiomes de la théorie ZF.
 Ces axiomes sont la pierre angulaire des tous les dévleppoements mathématiques que nous ferons dans ce manuscrit.
 Pour un lecteur qui ne serai pas familier de cette théorie, disons qu'il s'agit de modéliser formellement le principe d'ensemble.
@@ -43,6 +44,7 @@ Pour toute formule $F$ (au sens du clacul des prédicats et du vocabulaire $\in$
 $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
 
 \begin{definition}[Intersection]
+    \label{def:background-math-int}
     Pour des ensembles $A$ et $B$,
     \begin{equation*}
         A\cap B=\{a\in A\mid a\in B\}
@@ -54,6 +56,7 @@ $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[Fonctions]
+    \label{def:background-fct}
 
     \textbf{2-uplet.}
     Nous définissons pour tout ensemble $A$ et $B$ le \emph{2-uplet} $(A,B)$ par $\{\{A\},\{A,B\}\}$.
@@ -96,6 +99,16 @@ $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
             \right.
     \end{equation*}
 
+    Pour deux fonctions $f:E\rightarrow F$ et $g:F\rightarrow G$ nous notons 
+    \begin{equation*}
+        g\circ f:\left\{
+            \begin{matrix}
+                E\rightarrow G\\
+                x\mapsto g(f(x))
+            \end{matrix}
+            \right.
+    \end{equation*}
+
     Pour une expression $f(x)$, quand cela est pertinant nous noterons $f(\square)$ la fonction $f:x\mapsto f(x)$ quand il n'y a pas d'ambiguitée sur le domaine et codomaine.
 
     \textbf{Produit cartésien.}
@@ -139,6 +152,7 @@ Où $a^+ = a\cup \{a\}$.
 Nous appelons un tel $A$, un ensemble récursif.
 
 \begin{definition}[Ensemble usuels]
+    \label{def:background-set-usu}
 
     \textbf{Entiers.}
 Soit $C$ la classe des ensembles récursif.
@@ -221,6 +235,7 @@ Soit $F(a,b)$ un formule qui ne dépend pas de $B$.
 \end{equation}
 
 \subsubsection{Arithmétique}
+\label{sec:background-set-ari}
 Avec un niveau d'abstraction supplémentaire, nous considérons désormais que $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
 Cela est possible grace aux injéctions canoniques suivantes : 
 \begin{equation}
@@ -272,10 +287,12 @@ Outre les opératiosn usuelles, nous allons avoir aussi besoin de quelques fonct
 \end{itemize}
 
 \subsubsection{Intervalle}
+\label{sec:background-math-int}
 Pour $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ avec $a\leq b$ nous définissone l'intervalle $[a,b]$ de la manière suivant : $\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\wedge x\leq b\}$.
 Et aussi sa contrepartie entière : $[|a,b|] = [a,b]\cap\mathbb{N}$.
 
 \subsubsection{Cardinal}
+\label{sec:background-math-card}
 La notion de cardinal cherche à comparer la taille d'ensembles arbitraires.
 Nous n'allons pas ici considérer la théorie de ordinaux de Van Neumann qui compléte notre simplification.
 Le lecteur souhaitant aller plus loin et apprendre cette théorie peut se référer aux chapitres 6,7,8 et 9 de \textit{Elements of set thoery} de Herbert B. Enderton~\cite{enderton1977elements}.
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