From 7fc151d6a198d13dc9e1374522ec396d72905d3f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Wed, 11 Sep 2024 11:08:02 +0200
Subject: Ajout notations

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 classification_finie/ba.tex | 89 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
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@@ -17,6 +17,79 @@ Nous proposons donc la définition suivante :
     Alors pour $\hat{Y}=f\circ X$, nous avons 
     $P_{(Y,\hat{Y})} = P_Y\otimes P_{\hat{Y}}$
 \end{definition}
+\begin{lemma}
+    \label{lemme:aia-xycca}
+    Soit $(\Omega,\mathcal{T},P)$ un espace probabilisé.
+    Soient $X:(\Omega,\mathcal{T}) \rightarrow (E,\mathcal{E})$ et $Y:\Omega \rightarrow (F,\mathcal{F})$ des variables aléatoires.
+    Les deux propositions suivantes sont équivalantes :
+    \begin{enumerate}
+        \item $P_{(X,Y)} = P_X\otimes P_Y$.
+        \item Toute fonction mesurable $f:(E,\mathcal{T})\rightarrow (F,\mathcal{F})$ est un CCA pour prédire $Y$ à partir de $X$.
+    \end{enumerate}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    En gardant les objets définis dans le Lemme~\ref{lemme:aia-xycca}.
+    Nous allons prouver séparément les deux implications.
+    \paragraph{$(1)\implies(2)$}
+    Nous supposons que $P_{(X,Y)} = P_X\otimes P_Y$.
+    Soit $f:(E,\mathcal{T})\rightarrow (F,\mathcal{F})$, un fonction mesurerable, 
+    nous allons montrer que $f$ est un CCA, c'est-à dire que $P_{(f\circ X,Y)} = P_{f\circ X}\otimes P_Y$.
+
+    Soient $(A,B)\in\mathcal{E}\times\mathcal{F}$
+    \begin{align*}
+        &P_{(f\circ X,Y)}(A,B)&\\
+        =&P(\{f\circ X\in A\}\cap\{Y\in B\})&\\
+        =&P(\{X\in f^{-1}(A)\}\cap\{Y\in B\})&\\
+        &&\textit{Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes.}\\
+        =&P_X(f^{-1}(A))P_Y(B)&\\
+        =&P_{f\circ X}(A)P_Y(B)&
+    \end{align*}
+
+    Ainsi, $\forall (A,B)\in\mathcal{E}\times\mathcal{F}~P_{(f\circ X,Y)}(A,B) = P_{f\circ X}(A)P_Y(B)$.
+    D'après la définition de le mesure produit donnée à la Section~\ref{sec:background-proba}, nous avons donc bien $P_{(f\circ X,Y)} = P_{f\circ X}\otimes P_Y$.
+    Ce qui est bien la définition de l'indépendant donnée en Section~\ref{sec:background-proba}.
+
+    \paragraph{$(2)\implies (1)$}
+    Nous supposons que tout classifieur de $Y$ à partir de $X$ est un CCA.
+    Montrons que $P_{(X,Y)} = P_{f\circ X}\otimes P_Y$.
+    Soit $(A,B)\in\mathcal{E}\times\mathcal{F}$.
+    Nous allons montrer que 
+    $P(X\in A\cap Y\in B) = P(X\in A)P(Y\in B)$.
+
+    \paragraph{Cas 1 : $\mathcal{F}=\{\emptyset,F\}$}
+    Si $B=\emptyset$ alors 
+    $P(X\in A\cap Y\in B) = P(X\in A)P(Y\in B) = \emptyset$.
+    Si $B=F$ alors 
+    $P(X\in A\cap Y\in B) = P(X\in A)P(Y\in B) = P(X\in A)$.
+
+    \paragraph{Cas 2 : $\#\mathcal{F}>2$}
+    Alors il existe $C\in\mathcal{F}$ tel que $C\neq\emptyset$ et $F\backslash C\neq\emptyset$.
+    Nous pouvons donc choisir $c$ dans $C$ et $c'$ dans $F\backslash C$.
+    Nous construisons la fonction suivante:
+    \begin{equation*}
+        f:\left\{
+            \begin{matrix}
+                E\rightarrow F\\
+                e\mapsto\left\{
+                    \begin{matrix}
+                        c~\text{si}~e\in A\\
+                        c'~\text{sinon}
+                    \end{matrix}
+                \right.
+            \end{matrix}
+        \right.
+    \end{equation*}
+    Alors $f:(E,\mathcal{E})\rightarrow (F,\mathcal{F})$ est une fonction mesurable et $f^{-1}(C) = A$.
+    Ainsi
+    \begin{align*}
+        &P(X\in A\cap Y\in B)\\
+        =&P(X\in f^{-1}(C)\cap Y\in B)\\
+        \text{Comme $f$ est un CCA.}&\\
+        =&P(f\circ X\in C)P(Y\in B)\\
+        =&P(X\in A)P(Y\in B)
+    \end{align*}
+
+\end{proof}
 
 \begin{propriete}
     \label{prop:CCA_BA}
@@ -104,7 +177,21 @@ Déjà la \textit{balanced accuracy} est égale à $\frac{1}{3}$ car
 $\forall y\in F~P(\hat{Y}=y\mid Y=y)=\frac{1}{3}$.
 Enfin nous voyons que $f$ n'est pas un CCA car 
 $P(\hat{Y}=1\cap Y=2) = 0$ et 
-$P(\hat{Y}=1)P(Y=2) = \frac{2}{9}\frac{1}{3} = \frac{2}{27}$
+$P(\hat{Y}=1)P(Y=2) = \frac{2}{9}\frac{1}{3} = \frac{2}{27}$.
+
+Remarquons que le réciproque de la Propriété~\ref{prop:CCA_BA} est vrai dans le cas d'une classifieur binaire, c'est-à dire $\#F=2$.
+En effet dans ce cas, supposons que la \textit{balanced accuracy} vale $0,5$, alors
+\begin{align*}
+    &P(f\circ X=0\mid Y=0)+P(f\circ X=1\mid Y=1) = 1\\
+    \implies&\left\{
+        \begin{matrix}
+            &P(f\circ X=1\mid Y=0)=P(f\circ X=1\mid Y=1)\\      
+            \text{et}&\\
+            &P(f\circ X=0\mid Y=0)=P(f\circ X=0\mid Y=1)      
+        \end{matrix}
+        \right.\\
+    \implies&\text{$f$ est un CCA}
+\end{align*}
 
 Bien qu'une \textit{balanced accuracy} égale à $\frac{1}{\#F}$ ne soit pas un critère de CCA, nous pouvons utiliser cette métrique pour savoir si il existe un classifieur qui soit un CCA. 
 En effet nous avons le resultat suivant :
-- 
cgit v1.2.3

