\subsection{Utiliser l'équitée pour mitiger les AIA}
Commencons par présenter le résultat le plus générale, qui fonctionne aussi bien pour des modèle de classification que pour des regression.
Ce résultats est aussi indépendant du type d'attribut binaire, quantitatif au qualitatif.

\begin{theorem}
    \label{th:aia-dpgood}
    Les deux propositions suivantes sont équivalantes :
    \begin{enumerate}
        \item Le modèle cible satisfait la démographic parity 
        \item Toutes les attaques utilisant la prédiction pour inférer l'attribut sensible sont des CCA.
    \end{enumerate}

    Et aussi, les deux propositions suivantes sont équivalantes :
    \begin{enumerate}
        \item Le modèle cible satisfait la démographic parity généraliée
        \item Toutes les attaques utilisants le logit pour inférer l'attribut sensible sont des CCA.
    \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
    Par définition, la \textit{demographic parity} (respectivement généralisée) est equivalante à l'inpépendance entre l'attribut sensible et la prediction (respectivement le logit).
    Ainsi, d'après le Lemme~\ref{lemme:aia-xycca} dire que tout classifieur de l'attribute sensible utilisant la prédiction (respectivement le logit) est un CCA est équivalant à dire que le modèle cible respecte la \textit{demographic parity} (respectivement généralisée).
\end{proof}

Ce résultat nous apprend que s'assurer que le modèle cible satisfait la \textit{demographic parity} permet de s'assurer que les attribut sensible des utilisateur soient protégé lors de l'utilisation du modèle.
Dans le cas d'un modèle cible qui réalise une classifiction binaire et en considérant un attribut binaire nous avons une propriété plus précise.

\begin{propriete}
    Soit $(\Omega,\mathcal{T},P)$ un espace probabilisé et $(\{0,1\}$, $\mathcal{P}(\{0,1\}))$ des espaces mesurables.
    Soit les variables aléatoires suivantes
    \begin{itemize}
        \item L'étiquette $Y:(\Omega,\mathcal{T})\rightarrow (\{0,1\},\mathcal{P}(\{0,1\})$
        \item La donnée d'entrée $X:(\Omega,\mathcal{T})\rightarrow (F,\mathcal{F})$
        \item L'attribute sensible $S:(\Omega,\mathcal{T})\rightarrow(\{0,1\},\mathcal{P}(\{0,1\}))$
        \item L'attaque $a:(\Omega,\mathcal{T})\rightarrow\mathcal{P}(\{0,1\}))$
        \item Le modèle cible $f:(\Omega,\mathcal{T})\rightarrow\mathcal{P}(\{0,1\}))$
    \end{itemize}
    Alors nous avons 
    \begin{equation*}
        \text{max}_{a}BA(a) = \frac{1}{2}(1+\text(DemParLvl(f)))
    \end{equation*}
\end{propriete}

\begin{proof}
    On pause $\hat{Y}=f\circ X$.
    L'ensemble $A$ des fonction de $\{0,1\}$ vers $\{0,1\}$ contient quatre éléments : 
$a_0=0$, $a_1=id$, $a_2=1-id$ et $a,3=1$.
    Pour chaque attaque $a\in A$ la \textit{balanced accuracy} de $a$ est 
$BA(a) = \frac{1}{2}(P(a\circ \hat{Y}=0|S=0) + P(a\circ \hat{Y}=1|S=1))$.
Nous avons $BA(b_0) = BA(b_3) = \frac{1}{2}$ il n'est donc pas nécessaire de considérer ces éléments pour résoudre le problème d'optimisation.
Ce problème s'écrit $\text{max}_{a\in A}BA(a)) = \text{max}(BA(a_1), BA(a_2))$.
Nous remarquon que $a_1\circ \hat{Y}=\hat{Y}$ et $a_2\circ \hat{Y}=1 - \hat{Y}$.
Ainsi, 
{
\begin{align*}
    BA(a_1) &= \frac{1}{2}(P(\hat{Y}=0|S=0) + P(\hat{Y}=1|S=1))\\
    &=\frac{1}{2}(1+P(\hat{Y}=1|S=1) - P(\hat{Y}=1|S=0))
\end{align*}
}
et 
{
\begin{align*}
    BA(a_2)=\frac{1}{2}(1+P(\hat{Y}=1|S=0) - P(\hat{Y}=1|S=1))
\end{align*}
}
Donc, 
{
\begin{align*}
    &\text{max}_{a\in B}BA(a) \\
    = &\frac{1}{2}\left(1+\text{max}\left(
    \begin{matrix}
        P(\hat{Y}=0|S=0) -P(\hat{Y}=1|S=1)\\ 
        P(\hat{Y}=1|S=0) -P(\hat{Y}=0|S=1)
    \end{matrix}
    \right)\right)\\
    =&\frac{1}{2}(1+|P(\hat{Y}=1|S=1) - P(\hat{Y}=1|S=0)|)
\end{align*}
}
\end{proof}

Ainsi pour le classifieur binaire avec attribut sensbile binaire, il est suffisant de calculer le DemParLvl du modèle cible pour connaitre le maximum de \textit{balanced accuracy} ateignable par n'importe quelle attaque.
De plus, nous voyons que la \textit{balanced accuracy} maximial d'attaque vaut ${1}{2}$ si et seulement si $\text{DemParLvl}=0$.
C'est à dire que $f$ satisfait DemPar est équivalant à dire que tout attaque à une \textit{balanced accuracy} égale à $\frac{1}{2}$.

Grâce au Théorème~\ref{th:aia-dpgood} nous savons aussi que tout autre définition d'équtiée qui n'implique pas la paritée démographique ne permet pas de mitiger les AIA. 
Par exemple, nous allons montrer que l'égalitée de chances de la Définition~\ref{def:background-eq-eoo} en permet pas de mitiger l'AIA dans le cas binaire que nous avons étuié précédement.

\subsection{Utiliser l'AIA pour contrôler le niveau d'équitée}.

