\subsection{Utiliser l'équité pour mitiger les AIA}
Commençons par présenter le résultat le plus générale, qui fonctionne aussi bien pour des modèles de classifications que pour des régressions.
Ce résultat est aussi indépendant du type d'attribut binaire, quantitatif au qualitatif.

\begin{theorem}
    \label{th:aia-dpgood}
    Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
    \begin{enumerate}
        \item Le modèle cible satisfait la parité démographique .
        \item Toutes les attaques utilisant la prédiction pour inférer l'attribut sensible sont des CCA.
    \end{enumerate}

    Et aussi, les deux propositions suivantes sont équivalentes :
    \begin{enumerate}
        \item Le modèle cible satisfait la parité démographique généralisée.
        \item Toutes les attaques utilisant le logit pour inférer l'attribut sensible sont des CCA.
    \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
    Par définition, la parité démographique (respectivement généralisée) est équivalente à l'indépendance entre l'attribut sensible et la prédiction (respectivement le logit).
    Ainsi, d'après le Lemme~\ref{lemme:aia-xycca} dire que tout classifieur de l'attribut sensible utilisant la prédiction (respectivement le logit) est un CCA est équivalant à dire que le modèle cible respecte la parité démographique (respectivement généralisée).
\end{proof}

Ce résultat nous apprend que s'assurer que le modèle cible satisfait la parité démographique permet de s'assurer que les attributs sensibles des utilisateur sont protégés lors de l'utilisation du modèle.
Dans le cas d'un modèle cible qui réalise une classification binaire et en considérant un attribut binaire nous avons une propriété plus précise.

\begin{propriete}
    \label{prop:aia-demparlvl}
    Soit $(\Omega,\mathcal{T},P)$ un espace probabilisé et $(\{0,1\}$, $\mathcal{P}(\{0,1\}))$ des espaces mesurables.
    Soit les variables aléatoires suivantes
    \begin{itemize}
        \item L'étiquette $Y:(\Omega,\mathcal{T})\rightarrow (\{0,1\},\mathcal{P}(\{0,1\}))$
        \item La donnée d'entrée $X:(\Omega,\mathcal{T})\rightarrow(\{0,1\},\mathcal{P}(\{0,1\})$
        \item L'attribut sensible $S:(\Omega,\mathcal{T})\rightarrow(\{0,1\},\mathcal{P}(\{0,1\}))$
        \item L'attaque $a:(\Omega,\mathcal{T})\rightarrow(\{0,1\},\mathcal{P}(\{0,1\}))$
        \item Le modèle cible $f:(\Omega,\mathcal{T})\rightarrow(\{0,1\},\mathcal{P}(\{0,1\}))$
    \end{itemize}
    Alors nous avons 
    \begin{equation*}
        \text{max}_{a}BA(a) = \frac{1}{2}(1+\text(DemParLvl(f)))
    \end{equation*}
\end{propriete}

\begin{proof}
    On pause $\hat{Y}=f\circ X$.
    L'ensemble $A$ des fonction de $\{0,1\}$ vers $\{0,1\}$ contient quatre éléments : 
$a_0=0$, $a_1=id$, $a_2=1-id$ et $a,3=1$.
    Pour chaque attaque $a\in A$ l'exactitude équilibré de $a$ est 
    \begin{equation*}
        BA(a) = \frac{1}{2}(P(a\circ \hat{Y}=0|S=0) + P(a\circ \hat{Y}=1|S=1))
    \end{equation*}
Nous avons $BA(b_0) = BA(b_3) = \frac{1}{2}$ il n'est donc pas nécessaire de considérer ces éléments pour résoudre le problème d'optimisation.
Ce problème s'écrit $\text{max}_{a\in A}BA(a)) = \text{max}(BA(a_1), BA(a_2))$.
Nous remarquons que $a_1\circ \hat{Y}=\hat{Y}$ et $a_2\circ \hat{Y}=1 - \hat{Y}$.
Ainsi, 
{
\begin{align*}
    BA(a_1) &= \frac{1}{2}(P(\hat{Y}=0|S=0) + P(\hat{Y}=1|S=1))\\
    &=\frac{1}{2}(1+P(\hat{Y}=1|S=1) - P(\hat{Y}=1|S=0))
\end{align*}
}
et 
{
\begin{align*}
    BA(a_2)=\frac{1}{2}(1+P(\hat{Y}=1|S=0) - P(\hat{Y}=1|S=1))
\end{align*}
}
Donc, 
{
\begin{align*}
    &\text{max}_{A\in B}BA(a) \\
    = &\frac{1}{2}\left(1+\text{max}\left(
    \begin{matrix}
        P(\hat{Y}=0|S=0) -P(\hat{Y}=1|S=1)\\ 
        P(\hat{Y}=1|S=0) -P(\hat{Y}=0|S=1)
    \end{matrix}
    \right)\right)\\
    =&\frac{1}{2}(1+|P(\hat{Y}=1|S=1) - P(\hat{Y}=1|S=0)|)
\end{align*}
}
\end{proof}

Ainsi pour le classifieur binaire avec attribut sensible binaire, il est suffisant de calculer le DemParLvl du modèle cible pour connaître le maximum d'exactitude équilibré atteignable par n'importe quelle attaque.
De plus, nous voyons que l'exactitude équilibré maximale d'attaque vaut ${1}{2}$ si et seulement si $\text{DemParLvl}=0$.
C'est à dire que $f$ satisfait la parité démographique est équivalant à dire que tout attaque à une exactitude équilibré égale à $\frac{1}{2}$.

Grâce au Théorème~\ref{th:aia-dpgood} nous savons aussi que tout autre définition d'équité qui n'implique pas la parité démographique ne permet pas de mitiger les AIA. 
Par exemple, nous allons montrer un cas ou l'égalité des chances de la Définition~\ref{def:background-eq-eoo} est satisfaite mais où il existe une AIA qui donne une exactitude équilibré supérieur $0,5$.

On représente le classifieur $\hat{Y}$ de l'étiquette $Y$ ainsi que la donnée d'entrée $X$ et l'attribut sensible $S$ dans le tableau suivant :
\begin{equation*}
    \begin{matrix}
        X&Y&\hat{Y}&S\\
        0&0&0&0\\
        0&0&0&1\\
        0&0&0&0\\
        0&0&0&0\\
        1&1&1&1\\
        1&1&1&1\\
        1&1&1&1\\
        1&1&1&0\\
    \end{matrix}
\end{equation*}
Nous utilisons le modèle cible $\hat{Y}=id\circ X$.
Ce classifieur satisfait l'équité des chances car 
$P(\hat{Y}=0\mid Y=0\wedge S=0) = P(\hat{Y}=0\mid Y=0\wedge S=1) = 1$
et 
$P(\hat{Y}=0\mid Y=1\wedge S=0) = P(\hat{Y}=0\mid Y=1\wedge S=1) = 0$.
Alors si on choisit comme modèle d'attaque la fonction identité, nous avons comme exactitude équilibré de l'AIA $0,75$ ce qui indique une fuite de l'attribut sensible.

%De manière plus précises et plus générale nous avancons le théorème suivant :
%\begin{theorem}
%\label{th:eoo}
    %Si $\hat{Y}$ satisfait l'équitée des chances pour $Y$ et $S$, alors l'exactitude équilibrée de l'AIA est de $\frac{1}{\#F}$ si et seulement si $Y$ est independant de $S$ ou si 
    %for $Y$ and $S$ then the balanced accuracy of AH is $\frac{1}{2}$ if and only if $Y$ is independent of $S$ or $\hat{Y}$ is independent of $Y$.
%\end{theorem}
%Those two conditions are unlikely to happen with real world dataset and target models.
%Indeed, $Y$ is independent of $S$ means that the ground truth label is independent of the sensitive attribute which never happens as we have observed in the experiment section.
%And $\hat{Y}$ is independent of $Y$ means that the target model did not managed to learn anything: it does not have any utility which defies the purpose of using it in a production and commercial environment. 
%Since both of those conditions are not practical, we close the case of EO by saying that it is not fit as a defense against attribute inference attack at inference time.
%We prove the theorem:
%\begin{proof}
%Let $a$ be the attack model trained for AS: $\hat{S}=a\circ \hat{Y}$.
%By the total probability formula
%\begin{align*}&P(\hat{S}=0|S=0)\\
%=&P(\hat{S}=0|S=0Y=0)P(Y=0|S=0)\\
%+&P(\hat{S}=0|S=0Y=1)P(Y=1|S=0)
%\end{align*}
%and as well
%\begin{align*}&P(\hat{S}=1|S=1)\\
        %=&P(\hat{S}=1|S=1Y=0)P(Y=0|S=1)\\
        %+&P(\hat{S}=1|S=1Y=1)P(Y=1|S=1)
%\end{align*}
%Then we substitute those terms in the definition of the balanced accuracy of the target model.
%\begin{align*}
        %&\frac{P(\hat{S}=0|S=0)+P(\hat{S}=1|S=1)}{2}\\
        %=&\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(P(Y=0|S=0)-P(Y=0|S=1)\right)\\
        %&\left(P(\hat{Y}\in a^{-1}(\{1\})|S=1Y=0) -
        %P(\hat{Y}\in a^{-1}(\{1\})|S=1Y=1)\right)
%\end{align*}
%The balanced accuracy is equal to 0.5 if and only if $P(Y=0|S=0)=P(Y=0|S=1)$
%or $\forall a~P(\hat{Y}\in a^{-1}(\{1\})|S=1Y=0)=P(\hat{Y}\in a^{-1}(\{1\})|S=1Y=1)$.
%The first equation means that $Y$ is independent of $S$.
%The second means that for $S=1$ the trained target model did not learn.
%We can do the same computing for $S=0$ and obtain a similar conclusion. 
%\end{proof}
%
\subsection{Utiliser l'AIA pour contrôler le niveau d'équité}
\label{sec:aia-theo-aia-eq}
De manière réciproque, le lien que nous avons démontré peut aussi être utilité dans le cas suivant.
Imaginons qu'un fournisseur de modèle d'IA ou un organisme de régulation comme la Défenseure des Droit souhaite contrôler si un modèle est équitable ou non.
Si $\#F$ ou $\#G$ sont grands voir de cardinaux infinis, vérifier directement des propriétés d'indépendances entre la sortie du modèle et des attributs sensible peut entraîner un coût de calcul trop élevé pour être faisable~\cite{ofverstedt2022fast}.

Grâce au Théorème~\ref{th:aia-dpgood} nous avons la garantie que que si toutes les modèles AIA ont une exactitude équilibrée égale à $\frac{1}{\#F}$ alors le modèle cible satisfait la parité démographique.
Bien sûre cette technique atteint sa limite si $\#G$ est infini car alors l'exactitude équilibré n'est plus définie.

Calculer l'exactitude équilibrée de tous les modèles d'AIA est impossible.
Nous allons voir que si l'AIA qui donne une exactitude équilibré maximal vaut $\frac{1}{\#F}$ alors c'est le cas pour toutes.

\begin{theorem}
    \label{th:aia-bluey}
    Soit $(\Omega,\mathcal{T},P)$ un espace probabilisé.
    Soient $(E,\mathcal{E})$ et $(F,\mathcal{P}(F))$ des espaces mesurables avec $F$ un ensemble fini.
    Soient les variables aléatoires suivantes :
    \begin{itemize}
        \item $X:\Omega\rightarrow E$
        \item $Y:\Omega\rightarrow F$
    \end{itemize}
    Soit $A$ l'ensemble des fonctions mesurables de $(E,\mathcal{E})$ dans $(F,\mathcal{P}(F))$.
    Nous appelons $BA$ la fonction qui à toutes fonction $a$ de $A$ associe l'exactitude équilibrée de $a \circ X$ pour l'étiquette $Y$.
    \begin{equation*}
    \exists a\in A~BA(a)< \frac{1}{\#F}
    \implies
    \exists a\in A~BA(a)>\frac{1}{\#F}
    \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
    Soit $a\in A$ telle que $BA(a)<\frac{1}{\#F}$.
    Nous allons montrer qu'il existe $b\in A$ telle que $BA(b)>\frac{1}{\#F}$

    A la manière de la démonstration du Théorème~\ref{th:fini-bacca}, on se donne la matrice 
    \begin{equation*}
        M(i,j) = P(a\circ X = y_i\mid Y=y_j)
    \end{equation*}

    On note $S_{\#F}$ l'ensemble des bijections de $\#F$ sur lui-même.
    Montrons qu'il existe 
    $\varphi\in S_{\#F}$ telle que $\sum_{j\in\#F}M(\varphi(j),j) >1$.
    Raisonnons par l'absurde.
    Nous supposons que 
    \begin{equation*}
        \forall \varphi\in S_{\#F}~\sum_{j\in\#F}M(\varphi(j),j)<1
    \end{equation*}
    Alors 
    \begin{align*}
        &\sum_{\varphi\in S_{\#F}}\sum_{j\in\#F}M(\varphi(j),j)<N!\\
        \implies&\sum_{j\in\#F}\sum_{\varphi\in S_{\#F}}M(\varphi(j),j)<N!\\
        \implies&\sum_{j\in\#F}\sum_{i\in\#F}(N-1)!M(i,j)<N!\\
        \implies&\sum_{j\in\#F}\sum_{i\in\#F}M(i,j)<N\\
    \end{align*}
    Ce qui est absurde car 
    \begin{equation*}
        \sum_{i\in\#F} M(i,j) = 
        \sum_{i\in\#F}P(a\circ X=y_i\mid Y=y_j)=1
    \end{equation*}
    Donc
    \begin{equation*}
        \sum_{j\in\#F}\sum_{i\in\#F}M(i,j) = N
    \end{equation*}

    Ainsi, nous avons $\varphi\in S_{\#F}$ telle que 
    $\sum_{j\in\#F}M(\varphi(j),j)>1$.
    Comme nous l'avons montré dans la preuve du Théorème~\ref{th:fini-bacca}, nous avons $u\in\mathcal{H}^{\#F}$ tel que en posant 
    \begin{equation*}
        b = u_{\#F-1}\circ\cdots\circ u_0\circ a
    \end{equation*}
    alors $BA(b)>\frac{1}{\#F}$.

\end{proof}

Nous allons utiliser ce théorème pour montrer que si l'AIA maximale à une exactitude équilibré égale à $\frac{1}{\#G}$ alors toutes les AIA ont la même exactitude équilibré.
On se donne $A$ l'ensemble des fonctions mesurable de $(F,\mathcal{F})$ dans $(G,\mathcal{P}(G))$.
$A$ modélise l'ensemble des AIA possibles pour un modèle cible qui prédit dans $F$ et un attribut sensible dans $G$, un ensemble fini. 
Supposons que $\text{max}_{a\in A} BA(a)=\frac{1}{\#G}$.
Alors $\forall a\in A~BA(a)\leq\frac{1}{\#G}$.
D'après la contraposée du Théorème~\ref{th:aia-bluey} nous avons alors $\forall a\in A~BA(a)\geq\frac{1}{\#G}$.
Ainsi $\forall a\in A~BA(a)=\frac{1}{\#G}$.

Pour contrôler si un classifieur vérifie la parité démographique il est donc suffisant de connaître l'exactitude équilibré maximale de toutes les AIA.
Comme nous venons de le voir, si cette valeur vaut $\frac{1}{\#G}$ alors le classifieur satisfait la parité démographique.
La recherche d'une AIA qui maximise l'exactitude équilibré est discuté à la Section~\ref{sec:aia-aia}.
