\label{sec:bck_fair}
L'équitée algorithmique à pour but de réduire les bias dans le modèle prédictif.
C'est-à dire, comment peut on faire en sorte que le modèle ne désavantage pas ou n'avantge pas certain sous-groupes ? 
En effet, le fait qu'une donnée appratienne à certainne minorité peut avoir un impacte sur la qualitée de la prédiction.
Par exemple en justice prédictie, la couleur de peau d'un peau d'un coupable jou un rôle qui n'est pas négligable dans la prédiction du récidivisme au Etats Unis~\cite{fairjustice}.
Pour savoir si un attribut est sensible ou non, non pouvon non referer à la liste des vignt-cinq critère de disrimination présenté à la Section~\ref{sec:contexte-legal-discrimination}.
Ces bias sont appris par le modèle car ils sont présent dans les donnés d'entraînement qui reflète la population dans laquelle ces donnée ont été prélevés.
Nous représentons sur la Figure~\ref{fig:background-eq-logi} comment une regression logistique peut présenter une différence de traitement entre deux sous groupe de la population.
Nous observons que comme il y a moins de donnée de femmes, le modèle à appris une courbe qui se rapproche plus des données hommes.
Comme le seuil de ce modèle est situé à $0,5$, nous voyons que tous le points rouges qui correspondent au femmes passent au dessus du seuil représenté par la ligne horizontale grise.
Ainsi, bien que les étiquettes soient répartis équitablement chez les hommes et ches les femmes, le modèle classife toutes les femme dans la classe 1. 
Il sagit ici d'un cas scolaire sur des données générés mais supposons que la classe 1 soit désavantageuse.
Par exemple, imaginons que ce modèle soit utilisé dans un programme de rectruement automatique.
La classe 0 implique que le candidat est séléctioné, classe 1 implique que le candidat est réjété.
Alors ce programme serait discriminatoire car bien que 50\% des femme et 50\% des homme ont une étiquette qui les rendent adminssibles, le programme ne sélectione que des candidats hommes.

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\linewidth]{background/figure/eq/reg_unfair.pdf}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
        \hline
        &\textbf{Homme}&\textbf{Femme}&\textbf{Total}\\
        \hline
        \textbf{Effectif}&100&20&120\\
        \hline
        \makecell{
        \textbf{Répartition}\\
        $\#\{Y=0\}/\#\{Y=1\}$}
        &10/10&50/50&60/60\\
        \hline
        \textbf{Exactitude}&1&0,5&0,92\\
        \hline
    \end{tabular}
    \caption{Exemple d'un regression logistique qui a une meilleur performance pour le homme que pour les femmes.
    Les donnée provienne d'une génération et servent uniquement à titre d'illustration.
    La regression logisitque à bien été optimisé sur les donnée générés en utilise l'algorithme de scikit learn~\cite{scikit-learn}}
    \label{fig:background-eq-logi}
\end{figure}

\subsubsection{Définitions de l'équitée}
L'équitée en apprantissag automatique se présente sous deux aspect qui mettent lumière deux visions différentes :

\textbf{L'équitée individuelle}\footnote{Individual fairness}
cherche à faire en sorte que deux donnée, à toutes choses égale exepté l'attribut sensible, produisent la même prédiction.

\textbf{L'équitée de groupe}\footnote{Group fairness} 
Vient de l'idée que different sous groupes défini par un critère de discrimination devrait être traite de manière similaire.
Il y a différentes définitions mathématiques de l'équite de groupe.
Nous allons en regarder trois qui sont bien établis dans la litérature et souvant utilisé : l'effet différencié\footnote{disparate impact} la paritée demographique\footnote{Demographic parity} et l'équitée de chances\footnote{Equality of odds}.

Pour cela nous allons considérer le cadre suivant :
Nous avons un classifieur modélisé par une variable aléatoire $\hat{Y}$ qui essai d'inférer l'étiquette $Y$.
Ces deux variables prennent leurs valeurs dans un ensemble $F$.
De plus, nous avons l'attribut sensible modélisé par $S$ qui prend ses valeurs dans $G$.

\begin{definition}
\label{def:background-eq-di}
    L'\emph{effet différencié} de $\hat{Y}$ est 
    \begin{equation*}
        \frac{P(\hat{Y}=Y\mid S=0)}{P(\hat{Y}=Y\mid S=1)}
    \end{equation*}
    Cette notion ne fonctionne que pour $F=G=\{0,1\}$.
\end{definition}

Cette définition est utilisé au Etats Unis pour montrer qu'une structure a une politique de discrimination à l'encontre d'une minorité comme nous l'avons vus à la Section~\ref{sec:contexte-legal}.


\begin{definition}
\label{def:background-eq-dp}
    $\hat{Y}$ satisfait la \emph{parité démographique} pour $S$ si et seulement si : $\forall (y,s_1,s_2)\in F\times G\times G~P(\hat{Y}=y | S=s_1) = P(\hat{Y}=y | S=s_2)$.
\end{definition}

La parité démographique ne prend pas en compte l'étiquette, cette définition est equivalante à dire que l'attribut sensbile est indépendante de la prédiction (même si l'étiquette ne l'est pas).
Cela peut créer de cas où en cherchant à imposer cette metrique, nous obtenons des taux de vrais et de faux positif différents pour les sous groupes~\cite{dpbad}.
Ainsi, la parité demographique peut être repsécté tout en dégradant l'effet différencié.
Il n'est pas nécéssaire que si $\hat{Y}=Y$ (le classifieur infère parfaitement l'étiquette) alors la parite démographique soit respécté.
Chercher à imposer cette définition revient à faire de la discrimination positive.

Pour certaines applications cette effet n'est pas souaitable.
Ainsi Hardt et al.~\cite{fairmetric2} propose de modifier la parité démographique pour prendre en compte l'étiquette ce qui donne la définition suivante : 
\begin{definition}
    \label{def:background-eq-eoo}
    $\hat{Y}$ satisfait l'équitée des chances pour $S$ si et seulement si : $\forall (\hat{y},y,s_1,s_2)\in E\times E\times G\times G \quad 
        P(\hat{Y}=\hat{y} | S=s_1,Y=y) = P(\hat{Y}=\hat{y} | S=s_2,Y=y)$.
\end{definition}

\subsubsection{Imposer l'équitée comme contrainte d'optimisation}
Ces définitions peuvent être imposé au modèle de trois manières:
\begin{enumerate}
    \item Prétraitement\footnote{Preprocessing} :
        Le prétraitement consiste à modifier les données avant l'entraînement pour en retirer les bias. 
        Pour cela le rééquilibrage des poids\footnote{Reweighing} s'attaque au problème des biais en attribuant un poid à chaque donnée pour corrigier le déséquilibre dans un attribut sensible~\cite{preprocessing}.
    \item Entraitement\footnote{Inprocessing} : 
        Ces algorithmes, comme le rééquilibrage adversariel\footnote{Adversarial debiasing}~\cite{debiase} ou la descente de gradient exponentiée\footnote{Exponentiated gradient descent}~\cite{reductions}, modifient l'algorithme d'optimisation du modèle pour impose les définitions équité sous forme d'optimisation sous contrainte.
    \item Postraitement\footnote{Postprocessing} : 
        Cette methode consiste à cacher les biais dans la sortie du modèle. 
        Le modèle est biaisé mais sa sortie est filtrée.
\end{enumerate}
Comme nous nous intéressons au interaction entre équitée et confidentialité, le Chapitre~\ref{sec:aia} s'inscrit dans la lignée de travaux précédent qui se concentrent sur les méchanismes entraitements~\cite{chang2021privacy}.

\paragraph{Déscente de gradient exponentiée}

\paragraph{Rééquilibrage adversariel}
