Commencons donc cette section préliminaire avec les définitions et quelques porpiété des ensemble et de fonctions.
Commencons par les ensembles.
Nous utilisons ici la théorie des ensembles Zermelo–Fraenkel (ZF).
Si nous avons, dans ce manuscrit, besoin d'objet plus grand que les ensembles, nous les appelerons classes bien qu'il soit hors de propos de présenter ici la théorie Von Neumann–Bernays–Gödel (NBG).
Nous allons présenter ZF de manière assez succinte, juste suffisante pour réaliser les clalculs du Chapitre~\ref{sec:fini}.
Si le lecteur souhaite plus de détail sur ces théories nous le renvoyons à \textit{Elements of set thoery} de Herbert B. Enderton~\cite{enderton1977elements}.

\subsubsection{Axiomes de la théroie ZF}
Nous présentons dans cette section les axiomes de la théorie ZF.
Ces axiomes sont la pierre angulaire des tous les dévleppoements mathématiques que nous ferons dans ce manuscrit.
Pour un lecteur qui ne serai pas familier de cette théorie, disons qu'il s'agit de modéliser formellement le principe d'ensemble.
C'est à dire le principe de ranger des choses, les éléments, dans des boîtes, les ensembles.

\paragraph{Axiome d'Extensionnalité} 
Deux ensemble $A$ et $B$ sont égaut si et seulement si ils ont les mêmes éléments.
\begin{equation}
\forall A\forall B (\forall x~x\in A \iff x\in B) \implies A=B
\end{equation}

\paragraph{Axiome de l'Ensemble vide}
Il exite un ensemble qui ne contient aucun élément.
Nous le notons donc $\{\}$ ou $\emptyset$.

\paragraph{Axiome de la Paire}
\begin{equation}
\forall A \forall B \exists \{A,B\}\forall c(c\in \{A,B\}\iff c=A\vee c=B)
\end{equation}

\paragraph{Axiome de l'Union}
Pour tout ensembles $A$, il exist un ensemble $\bigcup A$ qui soit exactement composé des éléments de chaque élément de $A$.
\begin{equation}
\forall A \exists \bigcup A \forall b \left(b\in\bigcup A\iff \exists a\in A~ b\in a\right)
\end{equation}

\paragraph{Axiome de l'ensemble des parties}
Pour tout ensemble $A$ il existe un ensemble $\mathcal{P}(A)$ qui est l'ensemble des sous-ensembles (ou parties) de $A$.
\begin{equation}
\forall A \exists \mathcal{P}(A) ~ P\subset A \iff P\in \mathcal{P}(A)
\end{equation}

\paragraph{Axiome \textit{Aussonderung}}
Pour toute formule $F$ (au sens du clacul des prédicats et du vocabulaire $\in$, $=$) qui ne pédend pas de $B$ et tout ensemble A, il existe un ensemble $B = \{a\in A | F\}$ qui est tel que 
$\forall b\in B (b\in A \wedge F)$

\paragraph{Axiome du choix}
\begin{definition}[Fonction]
qsdf
\end{definition}

\paragraph{Axiome de l'infini}
\begin{equation}
\exists A\forall a\in A~(\emptyset \in A \wedge a^+\in A)
\end{equation}
Où $a^+ = a\cup \{a\}$.
Nous appelons un tel $A$, un ensemble récursif.

\begin{definition}[Ensemble usuels]
Soit $C$ la classe des ensembles récursif.
Soit $A$ un ensemble récursif.
Nous appelons $\mathbb{N}$ l'ensemble des entier naturels que nous définissons comme suit :
\begin{equation}
\mathbb{N} = \{n\in A~|~\forall c\in C~n\in c\}
\end{equation}
$\mathbb{N}$ est bien en ensemble d'après l'axiome Aussonderung.
Cette construction permet de définir les opérations d'addition et de multiplication~\cite{enderton1977elements} ainsi que les autres ensembles usuels qui nous utiliserons dans ce manuscrit.
Ainsi nous définisson $\mathbb{Z} = \{$ : l'ensemble des entiers relatifs l'union de $\mathbb{N}$ et de $-\mathbb{N} = \{$

\end{definition}

\paragraph{Axiome de remplacement}

\paragraph{Axiome de régularitée}