From db7711271299271784597d7260f63d27d2a18749 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Fri, 13 Dec 2024 10:52:09 +0100
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         \caption{Recensement USA (ADULT). Prédiction du salaire ($>\$50K$).}
     \end{figure}
 \end{frame}
+
+{
+    \usebackgroundtemplate{\includegraphics[width=\paperwidth]{images/background/card/background.pdf}}
+\begin{frame}
+    %\vspace{70px}
+    \hspace{70px}
+    \begin{minipage}{250px}
+        \centering
+        \Large
+        \textcolor{accent}{
+            Autre notion d'équité
+        }
+    \end{minipage}
+\end{frame}
+}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Définitions de l'équité}
+    \begin{definition}[Equité de chances\footnote{\textit{Equality of odds}}]
+        \begin{align*}
+            \forall (y,\hat{y},s_0,s_1)\in F\times F\times G\times G\\
+            P(f\circ X=\hat{y}\mid Y=y\wedge S=s_0)=
+            P(f\circ X=\hat{y}\mid Y=y\wedge S=s_1)
+        \end{align*}
+    \end{definition}
+    \begin{definition}[Effet différencié\footnote{\textit{Disparate impact}}]
+        \begin{equation*}
+            \frac{P(f\circ X=Y\mid S=0)}{P(f\circ X=Y\mid S=1)}
+        \end{equation*}
+    \end{definition}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+    \frametitle{L'équité des chances ne protège pas contre l'AIA prédiction}
+    \begin{table}
+        \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
+            \hline
+            $y$ & $s$ & $\hat{y}$ & $a$\\
+            \hline
+            0 & 0 & 0 & 0\\
+            \hline
+            1 & 0 & 0 & 0\\
+            \hline
+            0 & 1 & 1 & 1\\
+            \hline
+            1 & 1 & 1 & 1\\
+            \hline
+        \end{tabular}
+        \caption{L'attaque $a$ infère l'attribut sensible avec $100\%$ d'exactitude alors que le modèle $\hat{Y}$ satisfait l'équité des chances.}
+    \end{table}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+    \frametitle{L'équité classique ne protège pas contre l'AIA logit}
+    \begin{table}
+        \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
+            \hline
+            $x$ & $y$ & $s$ & $f(x)=1-x$ & $\hat{y}$ & $a(x)=1-|0,5-t(x)|$ & $\hat{s}$ $(\tau=0,65)$\\
+            \hline
+            0,1 & 1&1&0,9&1&0,6&1\\
+            \hline
+            0,2&1&0&0,8&1&0,7&0\\
+            \hline
+            0,8&0&0&0,2&0&0,7&0\\
+            \hline
+            0,9&0&1&0,1&0&0,6&1\\
+            \hline
+        \end{tabular}
+        \caption{Base de données et formule explicite pour le modèle cible $f$ et l'attaque $a$}
+    \end{table}
+    \begin{align*}
+        P(\hat{Y}=0|S=1,Y=0) = P(\hat{Y}=0|S=0,Y=0) = 1\\
+        P(\hat{Y}=1|S=1,Y=0) = P(\hat{Y}=1|S=0,Y=0) = 0\\
+        P(\hat{Y}=0|S=1,Y=1) = P(\hat{Y}=0|S=0,Y=1) = 0\\
+        P(\hat{Y}=1|S=1,Y=1) = P(\hat{Y}=1|S=0,Y=1) = 1\\
+    \end{align*}
+\end{frame}
+
+{
+    \usebackgroundtemplate{\includegraphics[width=\paperwidth]{images/background/card/background.pdf}}
+\begin{frame}
+    %\vspace{70px}
+    \hspace{70px}
+    \begin{minipage}{250px}
+        \centering
+        \Large
+        \textcolor{accent}{
+            Espaces métriques informationnels
+        }
+    \end{minipage}
+\end{frame}
+}
+\begin{frame}
+    \frametitle{Notions de distance sur les lois de probabilité}
+    \begin{definition}[Divergence de Kullback-Leibler]
+        \begin{equation*}
+            D_{KL}(P_{f\circ X}~||~P_Y) = 
+            \int_{y\in F}
+            \text{log}\left(
+            \frac{P_{f\circ X}(dy)}{P_Y(dy)}
+            \right)
+            P_{f\circ X}(dy)
+        \end{equation*}
+        Où $s(\square) = \frac{P_{f\circ X}(\square)}{P_Y(\square)}$, la dérivée de Radon-Nikodym, est une fonction mesurable telle que 
+        \begin{equation*}
+            \forall A\in\mathcal{F}P_{f\circ X}(A) = 
+            \int_AsdP_Y
+        \end{equation*}
+    \end{definition}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Information mutuelle}
+    \begin{definition}[Information mutuelle]
+        \begin{equation*}
+            I(X;Y) = D_{KL}\left(P_{(X,Y)}~||~P_X\otimes P_Y\right)
+        \end{equation*}
+    \end{definition}
+    \begin{propriete}[Inégalité du traitement des données]
+        \begin{equation*}
+            I(X;Y)\geq I(f\circ X;Y)
+        \end{equation*}
+    \end{propriete}
+\end{frame}
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