From ff66e1aaf32dbbd8c638b2f447dd49daaa8189ab Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jan Aalmoes <jan.aalmoes@inria.fr>
Date: Mon, 18 Nov 2024 15:54:13 +0100
Subject: Nouvelle generation

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 perspective.tex | 69 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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new file mode 100644
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--- /dev/null
+++ b/perspective.tex
@@ -0,0 +1,69 @@
+\begin{frame}
+    \frametitle{Convergence en entraînement}
+    \begin{definition}[$\varepsilon^0$-Convergence en entraînement.]
+        \begin{equation*}
+        \forall\varepsilon>\varepsilon^0~\exists\delta>0~\forall f\left(
+        C_{X_s,Y_s}(f)<\delta \implies
+        d\left(P_{f\circ X,S}, P_{f\circ X}\otimes P_S\right)
+        <\varepsilon\right)
+        \end{equation*}
+        Avec $C_{X_s,Y_s}$ la fonction de coût calculée sur les données synthétiques :
+        \begin{equation*}
+            C_{X_s,Y_s}(f) = E(l(f(X_s(\square)),Y_s(\square)))
+        \end{equation*}
+    \end{definition}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Théorème convergence vers un modèle équitable}
+    \begin{theorem}
+        \label{th:per-fairgen}
+        Sous les hypothèses suivantes 
+        $P_{f\circ X,S}$
+        $(4\gamma+\zeta)$-converge en entraînement vers
+        $P_{f\circ X}\otimes P_S$.
+    \end{theorem}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Théorème convergence vers un modèle équitable}
+    \begin{hypothese}[Lien entre la fonction de coût et la distance entre les lois des données d'entrée et des étiquettes]
+        \label{hyp:per-synth-cost}
+        $(\Omega,\mathcal{T},P)$ est un espace probabilisé.
+        Soit $\mathcal{Q}$ en ensemble de mesures de probabilité sur $(\Omega,\mathcal{T})$ tel que toutes les mesures images de ce théorème soient dans cet ensemble.
+        Soit $d$ tel que $(\mathcal{Q},d)$ soit un espace métrique et vérifiant l'inégalité du traitement de données.
+
+
+        Il existe une fonction $\varphi$, continue, croissante, positive, telle que 
+        \begin{equation}
+            \forall \delta>0, 
+            \left(C_{X,Y}(f)<\delta\right)
+            \implies
+            \left(
+            d(P_{f\circ X},P_Y)<\varphi(\delta)
+            \right)
+        \end{equation}
+    \end{hypothese}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+    \frametitle{Théorème convergence vers un modèle équitable}
+    \begin{hypothese}[Approximation des données synthétiques]
+        \label{hyp:per-synth-apprx}
+        \begin{align}
+            \label{eq:per-approx}
+            &d(P_{X_s},P_X)<\gamma\\
+            &d(P_{Y_s},P_Y)<\gamma\\
+            \label{eq:per-approx-s}
+            &d(P_{S_s},P_S)<\gamma
+        \end{align}
+    \end{hypothese}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+    \frametitle{Théorème convergence vers un modèle équitable}
+    \begin{hypothese}[Approximation de la parité démographique]
+        \label{hyp:per-synth-fair}
+        \begin{equation}
+            d(P_{Y_S,S_S},P_{Y_S}\otimes P_{S_S})<\zeta
+        \end{equation}
+    \end{hypothese}
+\end{frame}
-- 
cgit v1.2.3

