{
    \usebackgroundtemplate{\includegraphics[width=\paperwidth]{images/background/card/background.pdf}}
\begin{frame}
    %\vspace{70px}
    \hspace{70px}
    \begin{minipage}{250px}
        \centering
        \Large
        \textcolor{accent}{
            Un nouvel algorithme d'apprentissage ensembliste pour l'AIA.
        }
        
        \vspace{20px}
        \normalsize
        Inférence d'un attribut sensible en utilisant la prédiction du modèle cible
    \end{minipage}
\end{frame}
}
\begin{frame}
    \frametitle{AIA pour la prédiction}
    \input{tikz/ef}
    \pause
    \vspace{10px}

    \emph{$n^m$ applications à essayer !}
    \vspace{10px}

    Question de recherche :
    \emph{comment choisir la meilleure application sans les essayer toutes ?}
    \vspace{10px}

    On cherche $a:F\rightarrow G$ telle que 
    $P_{a\circ f\circ X}$ approche $P_{S}$.
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Classification finie}
    \begin{minipage}[t]{0.2\linewidth}
        \begin{tabular}{cc}
        \textbf{Y}&\textbf{S}\\
        0&$\bigcirc$\\
        2&$\times$\\
        1&$\bigcirc$\\
        0&$\bigcirc$\\
        2&$\times$\\
        0&$\bigcirc$\\
        1&$\bigcirc$\\
        1&$\bigtriangleup$\\
        0&$\bigcirc$\\
        2&$\bigcirc$\\
        1&$\bigcirc$\\
        1&$\bigtriangleup$\\
        2&$\bigcirc$\\
        2&$\bigcirc$\\
        \end{tabular}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.75\linewidth}
        On cherche une fonction $a$ de $F = \{0,1,2\}$ dans $G = \{\bigcirc,\bigtriangleup,\times\}$.
        \\\vspace{0.5cm}\\
        Nous n'allons pas essayer les \emph{$3^3=27$ fonctions}.
        \\\vspace{0.5cm}\\
        A la place, étudions deux manières de \emph{ranger le jeu de données}.
    \end{minipage}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Premier rangement}
    \input{tikz/chaussette/a}
\end{frame}

\begin{frame}
    \begin{definition}[Exactitude\footnote{\textit{Accuracy}}]
    L'exactitude de $a$ pour prédire $S$ est 
        \begin{equation*}
            A(a) = P(a\circ f\circ X=S)
        \end{equation*}
    \end{definition}
    \pause
    \frametitle{Maximisation de l'exactitude}
    \begin{theorem}
        L'application qui maximise l'exactitude est  
    \begin{equation*}
        a: \left\{
            \begin{matrix}
                F\rightarrow G\\
                e\mapsto \text{argmax}_{i\in G} P(S=i|f\circ X=e)
            \end{matrix}
            \right.
    \end{equation*}
    \end{theorem}
    \vspace{10px}

    \footnotesize
    \textit{The behavior-knowledge space method for combination of multiple classifiers}, Huang, YS et Suen, C.Y. 1993
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Problème avec la maximisation de l'exactitude}
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
    \begin{tabular}{cccc}
        &\textcolor{principale}{Faux Positifs}&\textcolor{principale}{Faux Négatifs}&\textcolor{principale}{Exactitude}\\
        \textcolor{principale}{$\bigcirc$}&100\%&0\%&100\%\\
        \textcolor{principale}{$\bigtriangleup$}&0\%&100\%&0\%\\
        \textcolor{principale}{$\times$}&0\%&100\%&0\%\\ 
    \end{tabular}
    \vspace{20px}

    \pause
    Déséquilibre dans les classes\footnote{\textit{Class imbalance}} :
    \begin{itemize}
        \item $P(S=\bigcirc)=\frac{10}{14}\simeq 71\%$
        \item $P(S=\bigtriangleup)=\frac{2}{14}\simeq 14\%$
        \item $P(S=\times)=\frac{2}{14}\simeq 14\%$
    \end{itemize}
    \end{minipage}
    \pause
    \hspace{50px}
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        \vspace{70px}
        \begin{figure}
            \includegraphics[width=1.2\linewidth]{images/race_split.pdf}
            \caption{Ethnies\footnote{\textit{Races}} en Alabama}
        \end{figure}
    \end{minipage}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Deuxième rangement}
    \vspace{5px}

    \input{tikz/chaussette/ba}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Maximisation de l'exactitude équilibrée}
    \begin{definition}[Exactitude équilibrée\footnote{\textit{Balanced accuracy}}]
        \begin{equation*}
            BA(a) = \frac{1}{\#G}\sum_{i\in G}P(a\circ f\circ X=i\mid S=i)
        \end{equation*}
    \end{definition}
    \pause
    \begin{theorem}
        L'application qui maximise l'exactitude équilibrée est 
        \begin{equation*}
            a:\left\{
                \begin{matrix}
                    F \rightarrow G\\
                    e\mapsto \text{argmax}_{i\in G}P(f\circ X=e|S=i)
                \end{matrix}
                \right.
        \end{equation*}
    \end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Problème avec la maximisation de l'exactitude}
    \emph{Maximisation de l'exactitude}
    \vspace{5px}

        \begin{tabular}{cccc}
            &\textcolor{principale}{Faux Positifs}&\textcolor{principale}{Faux Négatifs}&\textcolor{principale}{Exactitude}\\
            \textcolor{principale}{$\bigcirc$}&100\%&0\%&1\\
            \textcolor{principale}{$\bigtriangleup$}&0\%&100\%&0\\
            \textcolor{principale}{$\times$}&0\%&100\%&0\\ 
        \end{tabular}
    \vspace{10px}

    \emph{Maximisation de l'exactitude équilibrée}
    \vspace{5px}

        \begin{tabular}{cccc}
            &\textcolor{principale}{Faux Positifs}&\textcolor{principale}{Faux Négatifs}&\textcolor{principale}{Exactitude}\\
            \textcolor{principale}{$\bigcirc$}&0\%&60\%&40\%\\
            \textcolor{principale}{$\bigtriangleup$}&25\%&0\%&100\%\\
            \textcolor{principale}{$\times$}&25\%&0\%&100\%\\ 
        \end{tabular}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Evaluation expérimentale de la classification finie}
    \begin{figure}
        \centering
        \begin{subfigure}[t]{0.45\linewidth}
            \centering
            \includegraphics[width=\linewidth]{images/finit/COMPAS.pdf}
            \caption{Prédiction du récidivisme (COMPAS)}
        \end{subfigure}
        \begin{subfigure}[t]{0.45\linewidth}
            \centering
            \includegraphics[width=\linewidth]{images/finit/LAW.pdf}
            \caption{Prédiction de la réussite à l'examen du barreau (LAW)}
        \end{subfigure}
    \end{figure}
    La classification finie est 
    \begin{itemize}
        \item \emph{$3\times$ plus rapide} qu'une forêt aléatoire sur (LAW)
        \item \emph{$4\times$ plus rapide} qu'une forêt aléatoire sur (COMPAS)
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Conclusion sur l'AIA de la prédiction}
    \begin{itemize}
        \item Nous avons construit une \emph{fonction d'attaque $a$} de $F$, l'ensemble des \emph{prédictions possibles du modèle cible} vers $G$, l'ensemble des \emph{attributs sensibles}.
        \pause
    \item Cette fonction \emph{maximise l'exactitude équilibrée}.
    \end{itemize}
\end{frame}