{
    \usebackgroundtemplate{\includegraphics[width=\paperwidth]{images/background/card/background.pdf}}
\begin{frame}
    %\vspace{70px}
    \hspace{70px}
    \begin{minipage}{250px}
        \Large
        \textcolor{accent}{
            Comment proteger l'attribut sensible contre l'AIA ?
        }
    \end{minipage}
\end{frame}
}
\begin{frame}
    \frametitle{Protection de l'attribut sensible}
    On cherche une notion qui définisse : 

    \emph{L'attribut sensible des utilisateur est protégé.}
    \pause
    \begin{definition}
        Un CCA est un classifieur ayant une \emph{prédiction indépendante de l'étiquette}.
        C'est-à-dire que pour un classifieur $f: E\rightarrow F$.
        Avec une étiquette $Y:\Omega\rightarrow F$
        et une entrée $X:\Omega\rightarrow E$.
        Alors pour $\hat{Y}=f\circ X$, nous avons 
        \emph{$P_{(Y,\hat{Y})} = P_Y\otimes P_{\hat{Y}}$}
    \end{definition}
    
    \pause
    Nous allons voir que CCA et exactitude équilibré sont liées.
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Etude de l'exactitude équilibré}
    \begin{propriete}
        \label{th:aia-bluey}
        Soit $(\Omega,\mathcal{T},P)$ un espace probabilisé.
        Soient $(E,\mathcal{E})$ et $(F,\mathcal{P}(F))$ des espaces mesurables avec $F$ un ensemble fini.
        Soient les variables aléatoires suivantes :
            $X:\Omega\rightarrow E$ et
            $Y:\Omega\rightarrow F$
        Soit $A$ l'ensemble des fonctions mesurables de $(E,\mathcal{E})$ dans $(F,\mathcal{P}(F))$.

        Nous appelons $BA$ la fonction qui à toutes les fonctions $f$ de $A$ associe l'exactitude équilibrée de $f \circ X$ pour l'étiquette $Y$.
        \begin{equation*}
        \exists f\in A~BA(f)< \frac{1}{\#F}
        \implies
        \exists f\in A~BA(f)>\frac{1}{\#F}
        \end{equation*}
    \end{propriete}

    \pause
    \begin{propriete}
        \begin{equation*}
            \text{max}_fBA(f)=\frac{1}{\#F}\iff
            \forall f~BA(f)=\frac{1}{\#F}
        \end{equation*}
    \end{propriete}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Etude de l'exactitude équilibré}
    \begin{theorem}
        \label{th:fini-bacca}
        En notant $BA(f)$ l'exactitude équilibrée de $f$.
        \begin{equation*}
            \forall f~BA(f)=\frac{1}{\#F} \iff
            \forall f~\text{$f$ est un CCA}
        \end{equation*}
    \end{theorem}
    \pause

    \vspace{10px}
    Ainsi, si $\text{max}_fBA(f)=\frac{1}{\#F}$ alors 
    aucun classifieur ne pourra prédire l'étiquette.
    
    \pause
    \vspace{10px}
    \emph{Pour savoir si $X$ permet d'inférer $Y$ il suffit de calculer $\text{max}_fBA(f)$.}

    \pause
    \vspace{10px}
    L'algorithme classification finie permet de claculer $\text{max}_fBA(f)$.
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Lien entre exactitude équilibré et protection contre l'AIA}
    L'attribut sensible est protégé quand 
    \begin{equation*}
        P_{(f\circ X,S)}=
        P_{f\circ X}\otimes P_S
    \end{equation*}

    \pause
    \begin{equation*}
        \iff
        \forall a~\text{$a$ est un CCA pour prédire $S$ à parire de $f\circ X$}
    \end{equation*}

    \pause
    \begin{equation*}
        \iff
        \text{max}_aBA(a)=\frac{1}{\#G}
    \end{equation*}

\end{frame}
