\begin{frame}
    \frametitle{Positionnement}
    \centering
    \input{images/tikz/ckoi/pos22}
\end{frame}
{
    \usebackgroundtemplate{\includegraphics[width=\paperwidth]{images/background/card/background.pdf}}
\begin{frame}
    %\vspace{70px}
    \hspace{70px}
    \begin{minipage}{250px}
        \centering
        \Large
        \textcolor{accent}{
            Comment protéger l'attribut sensible contre l'AIA ?
        }
        \normalsize

        \vspace{20px}
        Lien entre équité et AIA
    \end{minipage}
\end{frame}
}
\begin{frame}
    \frametitle{Définitions de l'équité de la protection contre l'AIA}
    \begin{definition}[Parité démographique]
        $f$ satisfait la parité démographique pour $S$ si et seulement si
        \begin{equation*}
            P_{(f\circ X,S)}=
            P_{f\circ X}\otimes P_S
        \end{equation*}
    \end{definition}
    \pause
    \begin{definition}[S est protégé]
        $S$ est protégé contre l'AIA sur $f$ si et seulement si
        \begin{equation*}
            \forall a\in A~
            P_{(a\circ f\circ X,S)}=
            P_{a\circ f\circ X}\otimes P_S
        \end{equation*}
        où $A$ est l'ensemble des fonctions mesurables de $F$ dans $G$.
    \end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Lien entre l'équité, la confidentialité et l'exactitude équilibrée}
    \begin{theorem}
        Les trois propositions suivantes sont équivalentes.
        \begin{itemize}
            \item[$(\alpha)$] $f$ satisfait la parité démographique pour $S$
            \item[$(\beta)$] $S$ est protégé contre l'AIA sur $f$
            \item[$(\gamma)$] $\max_{a\in A} BA(f) = \frac{1}{\#G}$
        \end{itemize}
    \end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Eléments de démonstration}
    $(\alpha) \iff (\beta)$ grâce au Lemme 4.1 de mon manuscrit de thèse.
    \pause

    \begin{align*}
        &(\beta)&\\
        \iff&\forall a\in A~P_{(a\circ f\circ X,S)} = 
        P_{a\circ f\circ X}\otimes P_S&\text{Définition de la protection.}\\
        \iff&\forall a\in A~BA(a) = \frac{1}{\#G}&\text{Théorème 4.2 du manuscrit.}\\
        \iff&\text{max}_{a\in A}BA(a) = \frac{1}{\#G}&\text{Conséquence du Théorème 5.2 du manuscrit.}\\
        \iff&(\gamma)&
    \end{align*}
    \pause

    Nous avons donc bien $(\alpha)\iff(\beta)\iff(\gamma)$.
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Cas particulier : classification binaire et attribut binaire}
    \begin{definition}[Niveau de parité démographique]
        \begin{equation*}
            DemParLvl = |P(f\circ X=0\mid S=0) - 
            P(f\circ X=0\mid S=1)|
        \end{equation*}
    \end{definition}
    \pause
    \begin{theorem}
        \begin{equation*}
            \text{max}_{a\in A}BA(a) = 
            \frac{1}{2}(1+DemParLvl)
        \end{equation*}
    \end{theorem}
\end{frame}