{
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\begin{frame}
    %\vspace{70px}
    \hspace{70px}
    \begin{minipage}{250px}
        \centering
        \Large
        \textcolor{accent}{
            Diapositives supplémentaires
        }
    \end{minipage}
\end{frame}
}
\begin{frame}
    \frametitle{Equité et confidentialité}
    \textit{On the Compatibility of Privacy and Fairness},
    Rachel Cummings and Varun Gupta and Dhamma Kimpara and Jamie Morgenstern, 2019

    Si on approche l'équité on peut obtenir la confidentialité tout en conservant l'utilité 
\end{frame}
{
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\begin{frame}
    %\vspace{70px}
    \hspace{70px}
    \begin{minipage}{250px}
        \centering
        \Large
        \textcolor{accent}{
            Résultats expérimentaux AIA
        }
    \end{minipage}
\end{frame}
}

\begin{frame}
    \includegraphics[width=\linewidth]{images/backup/egd.png}
\end{frame}

\begin{frame}
    \includegraphics[width=\linewidth]{images/backup/advs.png}
\end{frame}

\begin{frame}
    \includegraphics[width=\linewidth]{images/backup/advh.png}
\end{frame}

\begin{frame}
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{images/backup/utility.png}
\end{frame}

{
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\begin{frame}
    %\vspace{70px}
    \hspace{70px}
    \begin{minipage}{250px}
        \centering
        \Large
        \textcolor{accent}{
            Résulats expérimentaux classification finie
        }
    \end{minipage}
\end{frame}
}
\begin{frame}
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{images/backup/ba_finit.png}
\end{frame}
\begin{frame}
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{images/backup/temps_finit.png}
\end{frame}

{
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\begin{frame}
    %\vspace{70px}
    \hspace{70px}
    \begin{minipage}{250px}
        \centering
        \Large
        \textcolor{accent}{
            Résultats synthétiques avec p-valeurs
        }
    \end{minipage}
\end{frame}
}

\begin{frame}
    \frametitle{Résultats préliminaires : impact des données synthétiques}
    \begin{figure}
        \begin{subfigure}{0.3\textwidth}
            \includegraphics[width=\linewidth]{images/figures/synthpv/utility.pdf}
            \caption{Utilité}
        \end{subfigure}
        \begin{subfigure}{0.3\textwidth}
            \includegraphics[width=\linewidth]{images/figures/synthpv/mia.pdf}
            \caption{MIA}
        \end{subfigure}
        \begin{subfigure}{0.3\textwidth}
            \includegraphics[width=\linewidth]{images/figures/synthpv/aia.pdf}
            \caption{AIA}
        \end{subfigure}
        \caption{Recensement USA (ADULT). Prédiction du salaire ($>\$50K$).}
    \end{figure}
\end{frame}

{
    \usebackgroundtemplate{\includegraphics[width=\paperwidth]{images/background/card/background.pdf}}
\begin{frame}
    %\vspace{70px}
    \hspace{70px}
    \begin{minipage}{250px}
        \centering
        \Large
        \textcolor{accent}{
            Autre notion d'équité
        }
    \end{minipage}
\end{frame}
}

\begin{frame}
    \frametitle{Définitions de l'équité}
    \begin{definition}[Equité de chances\footnote{\textit{Equality of odds}}]
        \begin{align*}
            \forall (y,\hat{y},s_0,s_1)\in F\times F\times G\times G\\
            P(f\circ X=\hat{y}\mid Y=y\wedge S=s_0)=
            P(f\circ X=\hat{y}\mid Y=y\wedge S=s_1)
        \end{align*}
    \end{definition}
    \begin{definition}[Effet différencié\footnote{\textit{Disparate impact}}]
        \begin{equation*}
            \frac{P(f\circ X=Y\mid S=0)}{P(f\circ X=Y\mid S=1)}
        \end{equation*}
    \end{definition}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{L'équité des chances ne protège pas contre l'AIA prédiction}
    \begin{table}
        \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
            \hline
            $y$ & $s$ & $\hat{y}$ & $a$\\
            \hline
            0 & 0 & 0 & 0\\
            \hline
            1 & 0 & 0 & 0\\
            \hline
            0 & 1 & 1 & 1\\
            \hline
            1 & 1 & 1 & 1\\
            \hline
        \end{tabular}
        \caption{L'attaque $a$ infère l'attribut sensible avec $100\%$ d'exactitude alors que le modèle $\hat{Y}$ satisfait l'équité des chances.}
    \end{table}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{L'équité classique ne protège pas contre l'AIA logit}
    \begin{table}
        \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
            \hline
            $x$ & $y$ & $s$ & $f(x)=1-x$ & $\hat{y}$ & $a(x)=1-|0,5-t(x)|$ & $\hat{s}$ $(\tau=0,65)$\\
            \hline
            0,1 & 1&1&0,9&1&0,6&1\\
            \hline
            0,2&1&0&0,8&1&0,7&0\\
            \hline
            0,8&0&0&0,2&0&0,7&0\\
            \hline
            0,9&0&1&0,1&0&0,6&1\\
            \hline
        \end{tabular}
        \caption{Base de données et formule explicite pour le modèle cible $f$ et l'attaque $a$}
    \end{table}
    \begin{align*}
        P(\hat{Y}=0|S=1,Y=0) = P(\hat{Y}=0|S=0,Y=0) = 1\\
        P(\hat{Y}=1|S=1,Y=0) = P(\hat{Y}=1|S=0,Y=0) = 0\\
        P(\hat{Y}=0|S=1,Y=1) = P(\hat{Y}=0|S=0,Y=1) = 0\\
        P(\hat{Y}=1|S=1,Y=1) = P(\hat{Y}=1|S=0,Y=1) = 1\\
    \end{align*}
\end{frame}

{
    \usebackgroundtemplate{\includegraphics[width=\paperwidth]{images/background/card/background.pdf}}
\begin{frame}
    %\vspace{70px}
    \hspace{70px}
    \begin{minipage}{250px}
        \centering
        \Large
        \textcolor{accent}{
            Espaces métriques informationnels
        }
    \end{minipage}
\end{frame}
}
\begin{frame}
    \frametitle{Notions de distance sur les lois de probabilité}
    \begin{definition}[Divergence de Kullback-Leibler]
        \begin{equation*}
            D_{KL}(P_{f\circ X}~||~P_Y) = 
            \int_{y\in F}
            \text{log}\left(
            \frac{P_{f\circ X}(dy)}{P_Y(dy)}
            \right)
            P_{f\circ X}(dy)
        \end{equation*}
        Où $s(\square) = \frac{P_{f\circ X}(\square)}{P_Y(\square)}$, la dérivée de Radon-Nikodym, est une fonction mesurable telle que 
        \begin{equation*}
            \forall A\in\mathcal{F}P_{f\circ X}(A) = 
            \int_AsdP_Y
        \end{equation*}
    \end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Information mutuelle}
    \begin{definition}[Information mutuelle]
        \begin{equation*}
            I(X;Y) = D_{KL}\left(P_{(X,Y)}~||~P_X\otimes P_Y\right)
        \end{equation*}
    \end{definition}
    \begin{propriete}[Inégalité du traitement des données]
        \begin{equation*}
            I(X;Y)\geq I(f\circ X;Y)
        \end{equation*}
    \end{propriete}
\end{frame}