\begin{frame}
    \frametitle{Précisions sur l'AIA}
    \begin{itemize}
        \item 
            Le modèle cible est 
            $
                f : E\rightarrow F
            $
            avec $\#F = m<\infty$.
        \item
            Le modèle d'attaque est 
            $
                a : F\rightarrow G
            $
            avec $\#G=n<\infty$.
    \end{itemize}

\end{frame}


\begin{frame}
    \frametitle{Nouvelle contribution : Classification finie}
    \input{tikz/ef}
    \pause
    \vspace{20px}
    \emph{$n^m$ applications à essayer !}\\
    \vspace{20px}
    \pause 
    Plan:
    \begin{enumerate}
        \item Problème introductif : Exactitude $P(Y=f\circ X)$
        \item Exactitude équilibrée $\frac{1}{n}\sum_{i\in G}P(f\circ X=i|Y=i)$
    \end{enumerate}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Classification finie}
    \begin{minipage}[t]{0.2\linewidth}
        \begin{tabular}{cc}
        \textbf{Y}&\textbf{S}\\
        0&$\bigcirc$\\
        2&$\times$\\
        1&$\bigcirc$\\
        0&$\bigcirc$\\
        2&$\times$\\
        0&$\bigcirc$\\
        1&$\bigcirc$\\
        1&$\bigtriangleup$\\
        0&$\bigcirc$\\
        2&$\bigcirc$\\
        1&$\bigcirc$\\
        1&$\bigtriangleup$\\
        2&$\bigcirc$\\
        2&$\bigcirc$\\
        \end{tabular}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.75\linewidth}
        On cherche une fonction $a$ de $F = \{0,1,2\}$ dans $G = \{\bigcirc,\bigtriangleup,\times\}$.
        \\\vspace{0.5cm}\\
        Nous n'allons pas essayer les \emph{$3^3=27$ fonctions}.
        \\\vspace{0.5cm}\\
        A la place, étudions deux manières de ranger le jeu de données.
    \end{minipage}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Maximisation de l'exactitude}
    \input{tikz/chaussette/a}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Maximisation de l'exactitude}
    \begin{theorem}
        L'application qui maximise l'éxactitude est  
    \begin{equation*}
        a: \left\{
            \begin{matrix}
                F\rightarrow G\\
                e\mapsto \text{argmax}_{i\in G} P(S=i|Y=e)
            \end{matrix}
            \right.
    \end{equation*}
    \end{theorem}

    \vspace{50px}

    \footnotesize
    \textit{The behavior-knowledge space method for combination of multiple classifiers}, Huang, YS et Suen, C.Y. 1993
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Maximisation de l'exactitude équilibrée}
    \vspace{5px}

    \input{tikz/chaussette/ba}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Maximisation de l'exactitude équilibrée}
    \begin{theorem}
        L'application qui maximise l'exactitude équilibrée est 
        \begin{equation*}
            a:\left\{
                \begin{matrix}
                    F \rightarrow G\\
                    e\mapsto \text{argmax}_{i\in G}P(Y=e|S=i)
                \end{matrix}
                \right.
        \end{equation*}
    \end{theorem}
\end{frame}