\begin{frame}
    \frametitle{Etude des CCA}
    \begin{definition}
        Un CCA est un classifieur ayant une \emph{prédiction indépendante de l'étiquette}.
        C'est-à-dire que pour un classifieur $f: E\rightarrow F$.
        Avec une étiquette $Y:\Omega\rightarrow F$
        et une entrée $X:\Omega\rightarrow E$.
        Alors pour $\hat{Y}=f\circ X$, nous avons 
        \emph{$P_{(Y,\hat{Y})} = P_Y\otimes P_{\hat{Y}}$}
    \end{definition}
    \pause
    \begin{lemma}
        \label{lemme:aia-xycca}
        Soit $(\Omega,\mathcal{T},P)$ un espace probabilisé.
        Soient $X:(\Omega,\mathcal{T}) \rightarrow (E,\mathcal{E})$ et $Y:\Omega \rightarrow (F,\mathcal{F})$ des variables aléatoires.
        Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
        \begin{enumerate}
            \item $P_{(X,Y)} = P_X\otimes P_Y$.
            \item Toute fonction mesurable $f:(E,\mathcal{T})\rightarrow (F,\mathcal{F})$ est un CCA pour prédire $Y$ à partir de $X$.
        \end{enumerate}
    \end{lemma}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Etude des CCA}
    \begin{propriete}
        \label{prop:CCA_BA}
        Les CCA ayant comme image $ F$ ont une exactitude équilibrée égale à $\frac{1}{\# F}$.
    \end{propriete}
    \pause
    \begin{theorem}
        \label{th:fini-bacca}
        En notant $BA(f)$ l'exactitude équilibrée de $f$.
        \begin{equation*}
            \forall f~BA(f)=\frac{1}{\#F} \iff
            \forall f~\text{$f$ est un CCA}
        \end{equation*}
    \end{theorem}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Nouvelle contribution : Classification finie}
    \input{tikz/ef}
    \pause
    \vspace{20px}
    \emph{$n^m$ applications à essayer !}\\
    \vspace{20px}
    \pause 
    Plan:
    \begin{enumerate}
        \item Problème introductif : Exactitude $P(Y=f\circ X)$
        \item Exactitude équilibrée $\frac{1}{n}\sum_{i\in F}P(f\circ X=i|Y=i)$
    \end{enumerate}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Classification finie}
    \begin{minipage}[t]{0.2\linewidth}
        \begin{tabular}{cc}
        \textbf{X}&\textbf{Y}\\
        0&$\bigcirc$\\
        2&$\times$\\
        1&$\bigcirc$\\
        0&$\bigcirc$\\
        2&$\times$\\
        0&$\bigcirc$\\
        1&$\bigcirc$\\
        1&$\bigtriangleup$\\
        0&$\bigcirc$\\
        2&$\bigcirc$\\
        1&$\bigcirc$\\
        1&$\bigtriangleup$\\
        2&$\bigcirc$\\
        2&$\bigcirc$\\
        \end{tabular}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.75\linewidth}
        On cherche une fonction $f$ de $E = \{0,1,2\}$ dans $F = \{\bigcirc,\bigtriangleup,\times\}$.
        \\\vspace{0.5cm}\\
        Nous n'allons pas essayer les \emph{$3^3=27$ fonctions}.
        \\\vspace{0.5cm}\\
        A la place, étudions deux manières de ranger le jeu de données.
    \end{minipage}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Maximisation de l'exactitude}
    \input{tikz/chaussette/a}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Maximisation de l'exactitude}
    \begin{theorem}
        L'application qui maximise l'éxactitude est  
    \begin{equation*}
        f: \left\{
            \begin{matrix}
                E\rightarrow F\\
                e\mapsto \text{argmax}_{i\in F} P(Y=i|X=e)
            \end{matrix}
            \right.
    \end{equation*}
    \end{theorem}

    \vspace{50px}

    \footnotesize
    \textit{The behavior-knowledge space method for combination of multiple classifiers}, Huang, YS et Suen, C.Y. 1993
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Maximisation de l'exactitude équilibrée}
    \vspace{5px}

    \input{tikz/chaussette/ba}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Maximisation de l'exactitude équilibrée}
    \begin{theorem}
        L'application qui maximise l'exactitude équilibrée est 
        \begin{equation*}
            f:\left\{
                \begin{matrix}
                    E \rightarrow F\\
                    e\mapsto \text{argmax}_{i\in F}P(X=e|Y=i)
                \end{matrix}
                \right.
        \end{equation*}
    \end{theorem}
\end{frame}