\begin{frame}
    \frametitle{Etude des CCA}
    \begin{definition}
        Un CCA est un classifieur ayant une \emph{prédiction indépendante de l'étiquette}.
        C'est-à-dire que pour un classifieur $f: E\rightarrow F$.
        Avec une étiquette $Y:\Omega\rightarrow F$
        et une entrée $X:\Omega\rightarrow E$.
        Alors pour $\hat{Y}=f\circ X$, nous avons 
        \emph{$P_{(Y,\hat{Y})} = P_Y\otimes P_{\hat{Y}}$}
    \end{definition}
    \pause
    \begin{lemma}
        \label{lemme:aia-xycca}
        Soit $(\Omega,\mathcal{T},P)$ un espace probabilisé.
        Soient $X:(\Omega,\mathcal{T}) \rightarrow (E,\mathcal{E})$ et $Y:\Omega \rightarrow (F,\mathcal{F})$ des variables aléatoires.
        Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
        \begin{enumerate}
            \item $P_{(X,Y)} = P_X\otimes P_Y$.
            \item Toute fonction mesurable $f:(E,\mathcal{T})\rightarrow (F,\mathcal{F})$ est un CCA pour prédire $Y$ à partir de $X$.
        \end{enumerate}
    \end{lemma}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Etude des CCA}
    \begin{propriete}
        \label{prop:CCA_BA}
        Les CCA ayant comme image $ F$ ont une exactitude équilibrée égale à $\frac{1}{\# F}$.
    \end{propriete}
    \pause
    \begin{theorem}
        \label{th:fini-bacca}
        En notant $BA(f)$ l'exactitude équilibrée de $f$.
        \begin{equation*}
            \forall f~BA(f)=\frac{1}{\#F} \iff
            \forall f~\text{$f$ est un CCA}
        \end{equation*}
    \end{theorem}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Nouvelle contribution : Classification finie}
    \input{tikz/ef}
    \vspace{20px}
    $n^m$ applications à essayer !\\
    \vspace{20px}
    Plan:
    \begin{itemize}
        \item Problème introductif : Accuracy $P(Y=f\circ X)$
        \item Balanced accuracy (plus dure !) $\frac{1}{n}\sum_{i\in F}P(f\circ X=i|Y=i)$
        \item ?
    \end{itemize}
\end{frame}