\begin{frame}
    \frametitle{Convergence en entraînement}
    \begin{definition}[$\varepsilon^0$-Convergence en entraînement.]
        \begin{equation*}
        \forall\varepsilon>\varepsilon^0~\exists\delta>0~\forall f\left(
        C_{X_s,Y_s}(f)<\delta \implies
        d\left(P_{f\circ X,S}, P_{f\circ X}\otimes P_S\right)
        <\varepsilon\right)
        \end{equation*}
        Avec $C_{X_s,Y_s}$ la fonction de coût calculée sur les données synthétiques :
        \begin{equation*}
            C_{X_s,Y_s}(f) = E(l(f(X_s(\square)),Y_s(\square)))
        \end{equation*}
    \end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Théorème convergence vers un modèle équitable}
    \begin{theorem}
        \label{th:per-fairgen}
        Sous les hypothèses suivantes 
        $P_{f\circ X,S}$
        $(4\gamma+\zeta)$-converge en entraînement vers
        $P_{f\circ X}\otimes P_S$.
    \end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Théorème convergence vers un modèle équitable}
    \begin{hypothese}[Lien entre la fonction de coût et la distance entre les lois des données d'entrée et des étiquettes]
        \label{hyp:per-synth-cost}
        $(\Omega,\mathcal{T},P)$ est un espace probabilisé.
        Soit $\mathcal{Q}$ en ensemble de mesures de probabilité sur $(\Omega,\mathcal{T})$ tel que toutes les mesures images de ce théorème soient dans cet ensemble.
        Soit $d$ tel que $(\mathcal{Q},d)$ soit un espace métrique et vérifiant l'inégalité du traitement de données.


        Il existe une fonction $\varphi$, continue, croissante, positive, telle que 
        \begin{equation}
            \forall \delta>0, 
            \left(C_{X,Y}(f)<\delta\right)
            \implies
            \left(
            d(P_{f\circ X},P_Y)<\varphi(\delta)
            \right)
        \end{equation}
    \end{hypothese}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Théorème convergence vers un modèle équitable}
    \begin{hypothese}[Approximation des données synthétiques]
        \label{hyp:per-synth-apprx}
        \begin{align}
            \label{eq:per-approx}
            &d(P_{X_s},P_X)<\gamma\\
            &d(P_{Y_s},P_Y)<\gamma\\
            \label{eq:per-approx-s}
            &d(P_{S_s},P_S)<\gamma
        \end{align}
    \end{hypothese}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Théorème convergence vers un modèle équitable}
    \begin{hypothese}[Approximation de la parité démographique]
        \label{hyp:per-synth-fair}
        \begin{equation}
            d(P_{Y_S,S_S},P_{Y_S}\otimes P_{S_S})<\zeta
        \end{equation}
    \end{hypothese}
\end{frame}