AJout des résultats aia et de l'interprétation

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index 2f2a0e0..983d088 100644
--- a/aia/fair_reg.tex
+++ b/aia/fair_reg.tex
@@ -1,19 +1,19 @@
-A la Section~\ref{sec:background-eq} nous avons introduits la notion de \textit{demographic parity} (DemPar).
+A la Section~\ref{sec:background-eq} nous avons introduits la notion de parité démographique (DemPar).
 Dans le cas d'un classifieur binaire ($\hat{Y}$) avec attribut binaire ($S$), nous pouvons calculer à quel point le classifieur est proche d'être DemPar avec la quantité suivante :
 \begin{equation*}
     \text{DemParLvl} = |P(\hat{Y}=1|S=0) - P(\hat{Y}=1|S=1)|
 \end{equation*}
-C'est l'écart de prédiction positive entre la classe majoritair(par exemple les blancs, le hommes, ...) et la classe minoritaire (les noirs, les femmes, ...).
+C'est l'écart de prédiction positive entre la classe majoritaire(par exemple les blancs, le hommes, ...) et la classe minoritaire (les noires, les femmes, ...).
 \begin{propriete}
     \label{prop:aia-dpl0}
-    Un classifieur qui satisfat la \textit{demographic parity} a n DemParLvl égale à zéro.
+    Un classifieur qui satisfait la parité démographique a un DemParLvl égale à zéro.
 \end{propriete}
 La démonstration est triviale à partir de la Définition~\ref{def:background-eq-dp}.
 
-DemPar est équivalante à dire que la prédiction du modèle est idépendante de l'attribut sensible.
-Nous remarquons que cette définition n'est ni restrainte à des problème de classification, ni à des attribute senssibles binaires ni même à des attribut sensibles qui prennent leurs valeur dans un ensemble fini.
+DemPar est équivalente à dire que la prédiction du modèle est indépendante de l'attribut sensible.
+Nous remarquons que cette définition n'est ni restreinte à des problèmes de classifications, ni à des attributs sensibles binaires ni même à des attributs sensibles qui prennent leurs valeurs dans un ensemble fini.
 Ainsi nous définissons la notion suivante:
-\begin{definition}{\textit{Démographic parity} généralisée.}
+\begin{definition}{Parité démographique généralisée.}
     \label{def:aia-dempargen}
 Soit $(\Omega,\mathcal{T},P$) un espace probabilisé.
 Soient $(E,\mathcal{E})$, $(F,\mathcal{F})$ et $(G,\mathcal{G})$ des espaces mesurables.
@@ -24,23 +24,23 @@ Soient les variables aléatoires suivantes :
     \item $S:(\Omega,\mathcal{T})\rightarrow (G,\mathcal{G})$
     \item $f:(E,\mathcal{E})\rightarrow (F,\mathcal{F})$
 \end{itemize}
-Alors $f$ satisfait la \textit{demographic parity} généralisée si et seulement si 
+Alors $f$ satisfait la parité démographique généralisée si et seulement si 
 \begin{equation*}
     P_{f\circ X,S} = P_{f\circ X}\otimes P_S
 \end{equation*}
-Dit autrement, si et seulement si le classifieur $f$ est un CCA pour prédire $S$ à partire de $X$.
+Dit autrement, si et seulement si le classifieur $f$ est un CCA pour prédire $S$ à partir de $X$.
 \end{definition}
 
 \begin{propriete}
-    Si un classifieur binaire satisfait la \textit{demographic parity} généralisée alors il satisfait la démographic parity.
+    Si un classifieur binaire satisfait la parité démographique généralisée alors il satisfait la parité démographique.
 \end{propriete}
 
 \begin{proof}
-    En gardant les objets définits dans la Définition~\ref{def:aia-dempargen}, supposons que $f$ satisfasse la \textit{demographic parity} généralisée.
+    En gardant les objets définis dans la Définition~\ref{def:aia-dempargen}, supposons que $f$ satisfasse la parité démographique généralisée.
     Alors, en notant $\hat{Y} = f\circ X$, comme $\mathcal{G} = \mathcal{F}=\mathcal{P}(\{0,1\})$, nous avons bien
     \begin{equation*}
         P(\hat{Y}=1\mid S=0) = P(\hat{Y}=1\mid S=1)
     \end{equation*}
 \end{proof}
 
-Ainsi grâce à la Propriété~\ref{prop:aia-dpl0} nous savons que si un classifieur satisfait la \textit{demographic parity} généralisée, alors il a un DemParLvl égale à 0.
+Ainsi grâce à la Propriété~\ref{prop:aia-dpl0} nous savons que si un classifieur satisfait la parité démographique généralisée, alors il a un DemParLvl égale à 0.