Correction Emeline sur classification fini et AIA

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index 6d19da2..bb2bb61 100644
--- a/aia/theo.tex
+++ b/aia/theo.tex
@@ -1,5 +1,5 @@
 \subsection{Utiliser l'équité pour mitiger les AIA}
-Commençons par présenter le résultat le plus générale, qui fonctionne aussi bien pour des modèles de classifications que pour des régressions.
+Commençons par présenter le résultat le plus général, qui fonctionne aussi bien pour des modèles de classification que pour des régressions.
 Ce résultat est aussi indépendant du type d'attribut binaire, quantitatif au qualitatif.
 
 \begin{theorem}
@@ -19,10 +19,10 @@ Ce résultat est aussi indépendant du type d'attribut binaire, quantitatif au q
 
 \begin{proof}
     Par définition, la parité démographique (respectivement généralisée) est équivalente à l'indépendance entre l'attribut sensible et la prédiction (respectivement le logit).
-    Ainsi, d'après le Lemme~\ref{lemme:aia-xycca} dire que tout classifieur de l'attribut sensible utilisant la prédiction (respectivement le logit) est un CCA est équivalant à dire que le modèle cible respecte la parité démographique (respectivement généralisée).
+    Ainsi, d'après le Lemme~\ref{lemme:aia-xycca}, dire que tout classifieur de l'attribut sensible utilisant la prédiction (respectivement le logit) est un CCA est équivalent à dire que le modèle cible respecte la parité démographique (respectivement généralisée).
 \end{proof}
 
-Ce résultat nous apprend que s'assurer que le modèle cible satisfait la parité démographique permet de s'assurer que les attributs sensibles des utilisateur sont protégés lors de l'utilisation du modèle.
+Ce résultat nous apprend que s'assurer que le modèle cible satisfait la parité démographique permet de s'assurer que les attributs sensibles des utilisateurs sont protégés lors de l'utilisation du modèle.
 Dans le cas d'un modèle cible qui réalise une classification binaire et en considérant un attribut binaire nous avons une propriété plus précise.
 
 \begin{propriete}
@@ -43,10 +43,10 @@ Dans le cas d'un modèle cible qui réalise une classification binaire et en con
 \end{propriete}
 
 \begin{proof}
-    On pause $\hat{Y}=f\circ X$.
-    L'ensemble $A$ des fonction de $\{0,1\}$ vers $\{0,1\}$ contient quatre éléments : 
+    On pose $\hat{Y}=f\circ X$.
+    L'ensemble $A$ des fonctions de $\{0,1\}$ vers $\{0,1\}$ contient quatre éléments : 
 $a_0=0$, $a_1=id$, $a_2=1-id$ et $a,3=1$.
-    Pour chaque attaque $a\in A$ l'exactitude équilibré de $a$ est 
+    Pour chaque attaque $a\in A$ l'exactitude équilibrée de $a$ est 
     \begin{equation*}
         BA(a) = \frac{1}{2}(P(a\circ \hat{Y}=0|S=0) + P(a\circ \hat{Y}=1|S=1))
     \end{equation*}
@@ -81,12 +81,12 @@ Donc,
 }
 \end{proof}
 
-Ainsi pour le classifieur binaire avec attribut sensible binaire, il est suffisant de calculer le DemParLvl du modèle cible pour connaître le maximum d'exactitude équilibré atteignable par n'importe quelle attaque.
-De plus, nous voyons que l'exactitude équilibré maximale d'attaque vaut ${1}{2}$ si et seulement si $\text{DemParLvl}=0$.
-C'est à dire que $f$ satisfait la parité démographique est équivalant à dire que tout attaque à une exactitude équilibré égale à $\frac{1}{2}$.
+Ainsi pour le classifieur binaire avec attribut sensible binaire, il est suffisant de calculer le DemParLvl du modèle cible pour connaître le maximum d'exactitude équilibrée atteignable par n'importe quelle attaque.
+De plus, nous voyons que l'exactitude équilibrée maximale d'attaque vaut ${1}{2}$ si et seulement si $\text{DemParLvl}=0$.
+C'est-à-dire que $f$ satisfait la parité démographique est équivalent à dire que toute attaque a une exactitude équilibrée égale à $\frac{1}{2}$.
 
-Grâce au Théorème~\ref{th:aia-dpgood} nous savons aussi que tout autre définition d'équité qui n'implique pas la parité démographique ne permet pas de mitiger les AIA. 
-Par exemple, nous allons montrer un cas ou l'égalité des chances de la Définition~\ref{def:background-eq-eoo} est satisfaite mais où il existe une AIA qui donne une exactitude équilibré supérieur $0,5$.
+Grâce au Théorème~\ref{th:aia-dpgood} nous savons aussi que toute autre définition d'équité qui n'implique pas la parité démographique ne permet pas de mitiger les AIA. 
+Par exemple, nous allons montrer un cas où l'égalité des chances de la Définition~\ref{def:background-eq-eoo} est satisfaite mais où il existe une AIA qui donne une exactitude équilibrée supérieure à $0,5$.
 
 On représente le classifieur $\hat{Y}$ de l'étiquette $Y$ ainsi que la donnée d'entrée $X$ et l'attribut sensible $S$ dans le tableau suivant :
 \begin{equation*}
@@ -107,12 +107,12 @@ Ce classifieur satisfait l'équité des chances car
 $P(\hat{Y}=0\mid Y=0\wedge S=0) = P(\hat{Y}=0\mid Y=0\wedge S=1) = 1$
 et 
 $P(\hat{Y}=0\mid Y=1\wedge S=0) = P(\hat{Y}=0\mid Y=1\wedge S=1) = 0$.
-Alors si on choisit comme modèle d'attaque la fonction identité, nous avons comme exactitude équilibré de l'AIA $0,75$ ce qui indique une fuite de l'attribut sensible.
+Alors si on choisit comme modèle d'attaque la fonction identité, nous avons comme exactitude équilibrée de l'AIA $0,75$, ce qui indique une fuite de l'attribut sensible.
 
-%De manière plus précises et plus générale nous avancons le théorème suivant :
+%De manière plus précise et plus générale nous avançons le théorème suivant :
 %\begin{theorem}
 %\label{th:eoo}
-    %Si $\hat{Y}$ satisfait l'équitée des chances pour $Y$ et $S$, alors l'exactitude équilibrée de l'AIA est de $\frac{1}{\#F}$ si et seulement si $Y$ est independant de $S$ ou si 
+    %Si $\hat{Y}$ satisfait l'équité des chances pour $Y$ et $S$, alors l'exactitude équilibrée de l'AIA est de $\frac{1}{\#F}$ si et seulement si $Y$ est indépendant de $S$ ou si 
     %for $Y$ and $S$ then the balanced accuracy of AH is $\frac{1}{2}$ if and only if $Y$ is independent of $S$ or $\hat{Y}$ is independent of $Y$.
 %\end{theorem}
 %Those two conditions are unlikely to happen with real world dataset and target models.
@@ -148,15 +148,15 @@ Alors si on choisit comme modèle d'attaque la fonction identité, nous avons co
 %
 \subsection{Utiliser l'AIA pour contrôler le niveau d'équité}
 \label{sec:aia-theo-aia-eq}
-De manière réciproque, le lien que nous avons démontré peut aussi être utilité dans le cas suivant.
+De manière réciproque, le lien que nous avons démontré peut aussi être utilisé dans le cas suivant :
 Imaginons qu'un fournisseur de modèle d'IA ou un organisme de régulation comme la Défenseure des Droit souhaite contrôler si un modèle est équitable ou non.
-Si $\#F$ ou $\#G$ sont grands voir de cardinaux infinis, vérifier directement des propriétés d'indépendances entre la sortie du modèle et des attributs sensible peut entraîner un coût de calcul trop élevé pour être faisable~\cite{ofverstedt2022fast}.
+Si $\#F$ ou $\#G$ sont grands voire de cardinaux infinis, vérifier directement des propriétés d'indépendance entre la sortie du modèle et des attributs sensible peut entraîner un coût de calcul trop élevé pour être faisable~\cite{ofverstedt2022fast}.
 
-Grâce au Théorème~\ref{th:aia-dpgood} nous avons la garantie que que si toutes les modèles AIA ont une exactitude équilibrée égale à $\frac{1}{\#F}$ alors le modèle cible satisfait la parité démographique.
-Bien sûre cette technique atteint sa limite si $\#G$ est infini car alors l'exactitude équilibré n'est plus définie.
+Grâce au Théorème~\ref{th:aia-dpgood} nous avons la garantie que si tous les modèles AIA ont une exactitude équilibrée égale à $\frac{1}{\#F}$, alors le modèle cible satisfait la parité démographique.
+Bien sûr cette technique atteint sa limite si $\#G$ est infini car alors l'exactitude équilibrée n'est plus définie.
 
 Calculer l'exactitude équilibrée de tous les modèles d'AIA est impossible.
-Nous allons voir que si l'AIA qui donne une exactitude équilibré maximal vaut $\frac{1}{\#F}$ alors c'est le cas pour toutes.
+Nous allons voir que si l'AIA qui donne une exactitude équilibrée maximale vaut $\frac{1}{\#F}$, alors c'est le cas pour toutes.
 
 \begin{theorem}
     \label{th:aia-bluey}
@@ -168,7 +168,7 @@ Nous allons voir que si l'AIA qui donne une exactitude équilibré maximal vaut
         \item $Y:\Omega\rightarrow F$
     \end{itemize}
     Soit $A$ l'ensemble des fonctions mesurables de $(E,\mathcal{E})$ dans $(F,\mathcal{P}(F))$.
-    Nous appelons $BA$ la fonction qui à toutes fonction $a$ de $A$ associe l'exactitude équilibrée de $a \circ X$ pour l'étiquette $Y$.
+    Nous appelons $BA$ la fonction qui à toutes les fonctions $a$ de $A$ associe l'exactitude équilibrée de $a \circ X$ pour l'étiquette $Y$.
     \begin{equation*}
     \exists a\in A~BA(a)< \frac{1}{\#F}
     \implies
@@ -212,7 +212,7 @@ Nous allons voir que si l'AIA qui donne une exactitude équilibré maximal vaut
 
     Ainsi, nous avons $\varphi\in S_{\#F}$ telle que 
     $\sum_{j\in\#F}M(\varphi(j),j)>1$.
-    Comme nous l'avons montré dans la preuve du Théorème~\ref{th:fini-bacca}, nous avons $u\in\mathcal{H}^{\#F}$ tel que en posant 
+    Comme nous l'avons démontré dans la preuve du Théorème~\ref{th:fini-bacca}, nous avons $u\in\mathcal{H}^{\#F}$ tel qu'en posant 
     \begin{equation*}
         b = u_{\#F-1}\circ\cdots\circ u_0\circ a
     \end{equation*}
@@ -220,14 +220,14 @@ Nous allons voir que si l'AIA qui donne une exactitude équilibré maximal vaut
 
 \end{proof}
 
-Nous allons utiliser ce théorème pour montrer que si l'AIA maximale à une exactitude équilibré égale à $\frac{1}{\#G}$ alors toutes les AIA ont la même exactitude équilibré.
-On se donne $A$ l'ensemble des fonctions mesurable de $(F,\mathcal{F})$ dans $(G,\mathcal{P}(G))$.
+Nous allons utiliser ce théorème pour montrer que si l'AIA maximale a une exactitude équilibrée égale à $\frac{1}{\#G}$ alors toutes les AIA ont la même exactitude équilibrée.
+On se donne $A$ l'ensemble des fonctions mesurables de $(F,\mathcal{F})$ dans $(G,\mathcal{P}(G))$.
 $A$ modélise l'ensemble des AIA possibles pour un modèle cible qui prédit dans $F$ et un attribut sensible dans $G$, un ensemble fini. 
 Supposons que $\text{max}_{a\in A} BA(a)=\frac{1}{\#G}$.
 Alors $\forall a\in A~BA(a)\leq\frac{1}{\#G}$.
 D'après la contraposée du Théorème~\ref{th:aia-bluey} nous avons alors $\forall a\in A~BA(a)\geq\frac{1}{\#G}$.
 Ainsi $\forall a\in A~BA(a)=\frac{1}{\#G}$.
 
-Pour contrôler si un classifieur vérifie la parité démographique il est donc suffisant de connaître l'exactitude équilibré maximale de toutes les AIA.
+Pour contrôler si un classifieur vérifie la parité démographique il est donc suffisant de connaître l'exactitude équilibrée maximale de toutes les AIA.
 Comme nous venons de le voir, si cette valeur vaut $\frac{1}{\#G}$ alors le classifieur satisfait la parité démographique.
-La recherche d'une AIA qui maximise l'exactitude équilibré est discuté à la Section~\ref{sec:aia-aia}.
+La recherche d'une AIA qui maximise l'exactitude équilibrée est discutée à la Section~\ref{sec:aia-aia}.