Fini du background, ne manque plus que la relecture

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index b756361..a53f479 100644
--- a/background/eq.tex
+++ b/background/eq.tex
@@ -97,7 +97,48 @@ Ces définitions peuvent être imposé au modèle de trois manières:
         Le modèle est biaisé mais sa sortie est filtrée.
 \end{enumerate}
 Comme nous nous intéressons au interaction entre équitée et confidentialité, le Chapitre~\ref{sec:aia} s'inscrit dans la lignée de travaux précédent qui se concentrent sur les méchanismes entraitements~\cite{chang2021privacy}.
+Nous allons en présenter deux que nous allons utiliser dans la suite du manuscrit.
 
-\paragraph{Déscente de gradient exponentiée}
+\paragraph{Déscente de gradient exponentié}
+L'aproche par réduction pour une classification équitable\footnote{\textit{Reductions approaches to fair classification}} traduit une définition d'équité en termé de contraintes d'inégalités~\cite{reductions}.
+Par exemple la partié démographique peut se reformuler de la manière suivante
+\begin{equation*}
+    \left\{
+        \begin{matrix}
+            &E(f\circ X\mid S=0)-E(f\circ X)\leq\epsilon_0\\
+            \text{et}&\\
+            &-E(f\circ X\mid S=0)+E(f\circ X)\leq\epsilon_1\\
+        \end{matrix}
+        \right.
+\end{equation*}
+Où $\epsilon_0$ et $\epsilon_1$ ont été rajouté pour relaxer la contrainte permettant de contrôler le compromis entre utilité en confidentialité.
+Ensuite ces contraintes sont utilisés avec le problème de minimisation sous la forme d'une lagrangien comme nous l'avons vu à la Section~\ref{sec:background-opti-sous}.
+
+Pour trouver le point selle Agarwal et al. utilisent en algorithme qui produit un classifieur stochastique\footnote{randomized classifieur}.
+C'est un classifieur particulier qui n'est pas déterministe.
+Lors de l'apprentissage, plusieurs solutions approchant le point selle sont trouvé qui correspondent à plusieur sous-classifieurs.
+Ensuite pour chaque prédiction un choix aléatoire est réalisé pour sélectione l'un des sous-classifieur qui sera évalué sur la donnée d'entré.
+
+\paragraph{Rééquilibrage adversariel}\footnote{\textit{Adversarial debiasing}}
+Cette méthode prend le problème sous un tout autre angle~\cite{10.1145/3278721.3278779}.
+Au lieu d'integrer les contraintes d'équitée lors de l'apprantissage, elle utilise l'idée suivante : 
+La partié démographique signifie que l'attribut sensible est indépendant de la sortie, donc si il est impossible pour un adversaire de prédire l'attribut sensible à partir du logit, le modèle doit satisfaire cette définition.
+Cette une remarque très juste que nous allons étudié en détail et démontrer dans les Chapitres~\ref{sec:fini} et~\ref{sec:aia}.
+
+La méthode de Zhan et al. consiste donc utiliser deux réseaux de neuronnes.
+L'un infére la tâche principle, l'autre utilise le logit du premier pour inférer l'attribut sensible nous l'appelons adversaire.
+Ces deux classifieur sont entraîné simultanément dans un contexte adversariel.
+Cela signifi que la fonction de cout est de la forme 
+\begin{equation}
+    \label{eq:background-ml-adv}
+    C(x) = F(x) - sA(x)
+\end{equation}
+Où $F$ est le coût du classifieur principale et $A$ celui de l'adversaire.
+Nous voyons que minimiser $C$ à tendence à minimiser $F$ et maximiser $A$ ce qui signifie trouver les paramètres du classifieur de la tâche principle qui vas réaliser une bonne classification tout en empêchant l'adversaire d'inférer l'attribut sensible.
+L'avantage de cette méthode par rapport aux multiplicateurs de Lagrange est que ici on protège directement le logit au lieu de la prédiction ce qui est plus générale.
+Cela serai impossible et génererai une quantité infinie (non-dénombrable) de contraintes si on devais les écrire sous une forme acceptable pour un lagrangien.
+
+Le principale désantage de cette methode est dans le paramètre $s$ de l'Equation~\ref{eq:background-ml-adv}.
+Ce paramètre sert à avoir un bon équilibre entre la tâche principle et contrer l'adversaire. 
+Cependant, comme Zhang et al. le précise, il est très dificile de le trouver et rentre dans la catégorire de l'optimisation des hyperparamètre des réseaux de neuronnes.
 
-\paragraph{Rééquilibrage adversariel}