Fin ensemble et fonctions, debut ML et Mesure/Proba

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@@ -42,11 +42,58 @@ Pour tout ensemble $A$ il existe un ensemble $\mathcal{P}(A)$ qui est l'ensemble
 Pour toute formule $F$ (au sens du clacul des prédicats et du vocabulaire $\in$, $=$) qui ne pédend pas de $B$ et tout ensemble A, il existe un ensemble $B = \{a\in A | F\}$ qui est tel que 
 $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
 
-\paragraph{Axiome du choix}
-\begin{definition}[Fonction]
-qsdf
+\begin{definition}[Fonctions]
+
+    \textbf{2-uplet.}
+    Nous définissons pour tout ensemble $A$ et $B$ le \emph{2-uplet} $(A,B)$ par $\{\{A\},\{A,B\}\}$.
+
+    \textbf{Relation.}
+    Nous appelons \emph{relation} un ensemble de 2-uplets.
+    L'\emph{ensemble de définision} d'une relation $R$ est 
+    $\mathcal{D}_R = \{x~|~\exists y~(x,y)\in R\}$.
+    L'\emph{image} d'une relation est $Img(R) = \{y~|~\exists x~(x,y)\in R\}$.
+    Une relation symmetrique ($\forall x\forall y~(x,y)\in R \iff (y,x)\in R$), 
+    reflexive ($\forall x~(x,x)\in R$) et
+    transitive ($\forall x\forall y\forall z~(x,y)\in R\wedge (y,z)\in R\implies (x,z)\in R $) 
+    est appelé une \emph{relation d'équivalance}.
+    Pour tout $a$, nous notons $[a]_R = \{b~|~(a,b)\in R\}$ la \emph{classes d'équivalance} de $a$.
+    Nous notons $A/R$ l'ensemble des classes d'équivlance d'une relation $R$ sur un ensemble $A$.
+
+    \textbf{Fonction.}
+    Une \emph{fonction} $f$ est un relation telle que
+    \begin{equation}
+    \forall x\in D_f\left((x,y)\in f\wedge (x,z)\in f\implies y=z\right)
+    \end{equation}
+    Pour tout ensemble $E$ et $F$ tels que $D_f\subset E$ et $Img(f)\subset F$ nous notons 
+    \begin{equation}
+        f:
+        \left\{
+        \begin{matrix}
+            E\rightarrow F\\
+           x\mapsto f(x)
+        \end{matrix}
+        \right.
+    \end{equation}
+    Où la notation $x\mapsto f(x)$ signifie que $(x,f(x))\in f$.
+
+    \textbf{Produit cartésien.}
+    Soit $A$ un ensemble $f$ une fonctions
+    \begin{equation}
+        \bigtimes_{a\in A}f(a) = 
+        \left\{
+            g~|~D_g=A\wedge (\forall a\in A~g(i)\in f(i))
+        \right\}
+    \end{equation}
+
 \end{definition}
 
+\paragraph{Axiome du choix}
+Cette axiome nous assure qui si tous les termers du produit cartérise sons non-vides alors le produits cartésien est non-vide.
+\begin{equation}
+    \forall a\in A f(a)\neq\emptyset \implies 
+        \bigtimes_{a\in A}f(a) \neq\emptyset
+\end{equation}
+
 \paragraph{Axiome de l'infini}
 \begin{equation}
 \exists A\forall a\in A~(\emptyset \in A \wedge a^+\in A)
@@ -55,6 +102,8 @@ Où $a^+ = a\cup \{a\}$.
 Nous appelons un tel $A$, un ensemble récursif.
 
 \begin{definition}[Ensemble usuels]
+
+    \textbf{Entiers.}
 Soit $C$ la classe des ensembles récursif.
 Soit $A$ un ensemble récursif.
 Nous appelons $\mathbb{N}$ l'ensemble des entier naturels que nous définissons comme suit :
@@ -62,16 +111,129 @@ Nous appelons $\mathbb{N}$ l'ensemble des entier naturels que nous définissons
 \mathbb{N} = \{n\in A~|~\forall c\in C~n\in c\}
 \end{equation}
 $\mathbb{N}$ est bien en ensemble d'après l'axiome Aussonderung.
-Cette construction permet de définir les opérations d'addition et de multiplication~\cite{enderton1977elements} ainsi que les autres ensembles usuels qui nous utiliserons dans ce manuscrit.
-Ainsi nous définisson $\mathbb{Z} = \{$ : l'ensemble des entiers relatifs l'union de $\mathbb{N}$ et de $-\mathbb{N} = \{$
+    Cette construction permet de définir les opérations d'addition ($+$) et de multiplication ($\cdot$)~\cite{enderton1977elements}. 
 
-\end{definition}
+\textbf{Entiers relatifs.}
+La relation 
+\begin{equation}
+    R = 
+    \left\{ 
+    ((a,b),(c,d))\in{\mathbb{N}^2}^2~|~
+    a+d = b+c
+    \right\}
+\end{equation}
+est une relation d'équivalance sur $\mathbb{N}^2$.
+    Nous définissons alors l'ensemble des \emph{entiers relatifs} $\mathbb{Z}=\mathbb{N}^2/R$. 
 
-\paragraph{Axiome de remplacement}
+\textbf{Nombres rationels.}
+La relation 
+\begin{equation}
+    S = 
+    \left\{ 
+    ((a,b),(c,d))\in{\left(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*\right)}^2~|~
+    a\cdot d = b\cdot c
+    \right\}
+\end{equation}
+    est une relation d'équivalance sur $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*$.
+    Nous définissons alors l'ensemble des \emph{Nombres rationels} $\mathbb{Q}=\left(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*\right)/S$.
+
+\textbf{Nombres réels}
+    \begin{definition}[Suite de Cauchy]
+        Une \emph{suite} $u$ sur un ensemble de $A$ est une fonction de $\mathbb{N}$ dans $A$. On note $u(n) = u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
+
+        Une \emph{suite de Cauchy} $u$ sur $\mathbb{Q}$ est elle que 
+        \begin{equation}
+            \forall \varepsilon\in\mathbb{Q}~
+            \exists N\in\mathbb{N}~
+            \forall (a,b) \in \mathbb{N}^2~
+            a\geq N\wedge b\geq N \implies
+            |u_a-u_b|\leq\varepsilon
+        \end{equation}
+
+        Soit $C$ l'ensemble des suite de Cauchy sur $\mathbb{Q}$.
+    \end{definition}
+
+La relation 
+\begin{equation}
+    T = 
+    \left\{ 
+    (u,v)\in C^2~|~
+    \forall\varepsilon~
+    \exists N\in\mathbb{N}~
+    \forall (a,b)\in\mathbb{N}^2~
+    a\geq N\wedge b\geq N \implies
+    |u_a-v_b|\leq\varepsilon
+    \right\}
+\end{equation}
+    est une relation d'équivalance sur $C^2$.
+    Nous définissons alors l'ensemble des \emph{Nombres réels} $\mathbb{R}=C/T$.
+
+\end{definition}
 
 \paragraph{Axiome de régularitée}
+Tout ensemble non-vide a un élément disjoint de cet ensemble.
 
+\paragraph{Axiome de remplacement}
+Soit $F(a,b)$ un formule qui ne dépend pas de $B$.
+\begin{equation}
+    \forall A\forall y\forall z
+    \left(
+    \forall (x\in A~F(x,y)\wedge F(x,z)\implies x=z)\implies
+    (\exists B~B=\{y~|~\exists x\in A~F(x,y)\})
+    \right)
+\end{equation}
 
+\subsubsection{Arithmétique}
+Avec un niveau d'abstraction supplémentaire, nous considérons désormais que $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
+Cela est possible grace aux injéctions canoniques suivantes : 
+\begin{equation}
+    \left\{
+        \begin{matrix}
+            \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}\\
+            n\mapsto (n,0)
+        \end{matrix}
+    \right.
+\end{equation}
 
+\begin{equation}
+    \left\{
+        \begin{matrix}
+            \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Q}\\
+            (a,b)\mapsto ((a,b),(1,1))
+        \end{matrix}
+    \right.
+\end{equation}
 
+\begin{equation}
+    \left\{
+        \begin{matrix}
+            \mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{R}\\
+            (a,b)\mapsto 
+            \left[
+                \left\{
+                    \begin{matrix}
+                        \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Q}\\
+                        n\mapsto (a,b)
+                    \end{matrix}
+                \right.
+            \right]_T
+        \end{matrix}
+    \right.
+\end{equation}
 
+Nous identifions aussi $\mathbb{R}$ aux réprésentation en base 10 de ses éléments.
+Et nous utiliserons les opérations usuelles $+$, $\cdot$, $-$ et $/$ ainsi que la relation d'ordre $<$ sur ces représentation.
+En générale il est possible de construire ces opérations sans utiliser la représentation en base 10~\cite{enderton1977elements} mais une telle construction est hors de propos pour ce manuscrit.
+
+\subsubsection{Cardinal}
+La notion de cardinal cherche à comparer la taille d'ensembles arbitraires.
+Nous n'allons pas ici considérer la théorie de ordinaux de Van Neumann qui compléte notre simplification.
+Le lecteur souhaitant aller plus loin et apprendre cette théorie peut se référer aux chapitres 6,7,8 et 9 de \textit{Elements of set thoery} de Herbert B. Enderton~\cite{enderton1977elements}.
+Notre simplification est ce suffit à elle même pour les dévelopement qui nous allons présenter dans ce manuscrit.
+
+Nous dirons donc que tout ensemble $A$ à un cardinal que nous noterons $\#A$.
+Si $A$ est en bijection avec  $n\in\mathbb{N}$ alors $\#A = n$.
+Nous dirons alors que $A$ est un ensemble fini.
+Dans le cas contraite nous dirons que $A$ est infini.
+Si $A$ est en bijection avec un sous ensemble de $\mathbb{N}$ nous dirons que $A$ est dénombrable et que sons cardinal est $\#A = \aleph_0$.
+Enfin nous dirons que deux ensemble arbitraires ont le même cardinal si et seulement si ils sont en bijection.