Ajout notations

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index 2cb0098..5bce111 100644
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@@ -13,6 +13,20 @@ Soit maintenant $A\subset\mathcal{P}(A)$, nous appellons $\sigma(A)$ la plus pet
 
 Nous appelons mesure, une fonction $d$ :$\mathcal{A}$ $\rightarrow$ $[0,+\infty]$ telle que $d(\emptyset) = 0$ et $d\left(\bigcup_{i\in \mathbb{N}} A_i\right) = \sum_{i\in \mathbb{N}}d(A_i)$ pour tout $(A_1, A_2, \cdots) \in \mathcal{A}^\mathbb{N} $ avec $\forall (i,j) A_i\cap A_j = \emptyset$.
 Nous disons alors que $(A, \mathcal{A}, d)$ est un espace mesuré.
+Pour un espace mesurable $(A,\mathcal{P}(A))$, la mesure de dirac est la mesure telle que pour $a\in A$ 
+\begin{equation*}
+    \delta_a : \left\{
+        \begin{matrix}
+        \mathcal{P}(A)\rightarrow \{0,1\}\\
+        B\mapsto\left\{
+            \begin{matrix}
+                1&\text{si}&a\in B\\
+                0&\text{sinon}&
+            \end{matrix}
+            \right.
+        \end{matrix}
+        \right.
+\end{equation*}
 
 Soit $(A, \mathcal{A}, d)$ et $(B, \mathcal{B}, e)$ deux espaces mesurés.
 Nous définissons alors 
@@ -47,6 +61,8 @@ Dans le cas particulier où $d(A) = 1$, nous appelons $d$ une mesure de probabil
 Le loi de probabilité d'une variable aléatoire $f$ sur $(X,\mathcal{X})$ est la mesure image de $f$ sur $d$.
 Nous dirons que deux variables aléatoire $f$ et $g$ sont indépendantes si et seulement si la loi de la variables aléatoire $h:\omega\mapsto (f(\omega),g(\omega))$ est la mesur produit de la loi de $f$ et $g$.
 
+De plus, dans le cas des variables aléatoires, il est courant de d'écrir $\{f\in A\}$ pour $f^{-1}(A)$ et $\{f=a\}$ pour $f^{-1}(\{a\})$.
+
 
 %Having introduced probability theory, we explicit the relation with the ML theory described previously.
 %Let $I$ a finite set, $\mathcal{X}$, $\mathcal{S}$ and $\mathcal{Y}$ the sets of features, sensitive attribute and label.
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index b45e302..e011510 100644
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@@ -42,6 +42,17 @@ Pour tout ensemble $A$ il existe un ensemble $\mathcal{P}(A)$ qui est l'ensemble
 Pour toute formule $F$ (au sens du clacul des prédicats et du vocabulaire $\in$, $=$) qui ne pédend pas de $B$ et tout ensemble A, il existe un ensemble $B = \{a\in A | F\}$ qui est tel que 
 $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
 
+\begin{definition}[Intersection]
+    Pour des ensembles $A$ et $B$,
+    \begin{equation*}
+        A\cap B=\{a\in A\mid a\in B\}
+    \end{equation*}
+    et
+    \begin{equation*}
+        A\backslash B=\{a\in A\mid \neg(a\in B)\}
+    \end{equation*}
+\end{definition}
+
 \begin{definition}[Fonctions]
 
     \textbf{2-uplet.}
@@ -75,21 +86,43 @@ $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
         \right.
     \end{equation}
     Où la notation $x\mapsto f(x)$ signifie que $(x,f(x))\in f$.
+    En particulier, la fonction identitée est telle que 
+    \begin{equation*}
+        id_E:\left\{
+            \begin{matrix}
+                E\rightarrow E\\
+                x\mapsto x
+            \end{matrix}
+            \right.
+    \end{equation*}
+
+    Pour une expression $f(x)$, quand cela est pertinant nous noterons $f(\square)$ la fonction $f:x\mapsto f(x)$ quand il n'y a pas d'ambiguitée sur le domaine et codomaine.
 
     \textbf{Produit cartésien.}
-    Soit $A$ un ensemble $f$ une fonctions
+    Soit $A$ un ensemble $f$ une fonctions le produit cartésien est
     \begin{equation}
         \bigtimes_{a\in A}f(a) = 
         \left\{
-            g~|~D_g=A\wedge (\forall a\in A~g(i)\in f(i))
+            g~|~D_g=A\wedge (\forall a\in A~g(a)\in f(a))
         \right\}
     \end{equation}
 
+    Si $A=\{i,j\}$ et $f(i)=B$ et $f(j)=C$ nous notons le produit cartésien : $B\times C$.
+    Si pour tout $a\in A~f(a)=B$ nous notons le produit cartésien $B^{A}$.
+\end{definition}
+
+
+
+
     Nous dirons qu'une fonction $f:E\rightarrow F$ est injective si et seulement si $\forall (x,y)\in E^2(f(x)=f(y)\implies x=y$).
     Nous dirons aussi que $f$ est surjective si et sulement si $\forall y\in F\exists x\in E~f(x)=y$.
     Dans le cas où $f$ serait à la fois injective et surjective nous dirons qu'elle est bijective et que les ensembles $E$ et $F$ sont en bijection.
 
-\end{definition}
+    Pour une bijection $f$ de $E$ dans $F$ nous notons $f^{-1} : y\mapsto x~\text{tel que}~f(x)=y$.
+    Dans le cas où $f$ n'est pas bijective, nous définison cette notation de la manière suivant :
+    pour $B\subset F$,
+    $f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B$.
+
 
 \paragraph{Axiome du choix}
 Cette axiome nous assure qui si tous les termers du produit cartérise sons non-vides alors le produits cartésien est non-vide.
@@ -229,6 +262,19 @@ Nous identifions aussi $\mathbb{R}$ aux réprésentation en base 10 de ses élé
 Et nous utiliserons les opérations usuelles $+$, $\cdot$, $-$ et $/$ ainsi que la relation d'ordre $<$ sur ces représentation.
 En générale il est possible de construire ces opérations sans utiliser la représentation en base 10~\cite{enderton1977elements} mais une telle construction est hors de propos pour ce manuscrit.
 
+Outre les opératiosn usuelles, nous allons avoir aussi besoin de quelques fonction particulière :
+\begin{itemize}
+    \item La factorielle : pour $n\in\mathbb{N}~n!=n(n-1)\cdots1$.
+    \item La division euclidienne : pour 
+        $(a,b)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}^*~\exists (q,r)\in\left(\mathbb{N}^*\right)^2~
+        a=qb+r\wedge b(q+1)>a$.
+        $q$ est appellé quotient et $r$ reste de la division de $a$ par $b$.
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{Intervalle}
+Pour $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ avec $a\leq b$ nous définissone l'intervalle $[a,b]$ de la manière suivant : $\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\wedge x\leq b\}$.
+Et aussi sa contrepartie entière : $[|a,b|] = [a,b]\cap\mathbb{N}$.
+
 \subsubsection{Cardinal}
 La notion de cardinal cherche à comparer la taille d'ensembles arbitraires.
 Nous n'allons pas ici considérer la théorie de ordinaux de Van Neumann qui compléte notre simplification.