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diff --git a/background/alg.tex b/background/alg.tex index b2f6418..2c8a091 100644 --- a/background/alg.tex +++ b/background/alg.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\subsubsection{Espace vecotriel} +\subsubsection{Espace vectoriel} Les espaces vectoriels sont des structure fondamentales qui vont nous servir à comprendre comment fonctionne l'entraînement des réseaux de neurones. \begin{definition}{Groupe} Soit $E$ un ensemble et $+$ une opération sur $E$. @@ -16,7 +16,7 @@ Les espaces vectoriels sont des structure fondamentales qui vont nous servir à \begin{definition}{Espace vectoriel} Soit $E$ un ensemble munit d'une loi interne $+$ et d'une loi externe $\cdot:\mathbb{R}\times E\rightarrow E$. - Sout les conditions suivantes, nous dirons que $(E,+,\cdot)$ est un espace vectoriel. + Sous les conditions suivantes, nous dirons que $(E,+,\cdot)$ est un espace vectoriel. \begin{enumerate} \item $(E,+)$ est un groupe abélien. \item $\forall (r,e,f)\in\mathbb{R}\times E\times E~r(e+f)=re+rf$ @@ -69,14 +69,16 @@ Où \\ \end{matrix} \end{equation*} -On appelera par la suite $(e_0,\cdots,e_{m-1})$ \emph{base canonique} de $\mathbb{R}^m$. -On note $f(e_j)_i = M_f(i,j)$, c'est l'entré de $M_f$ se situant à la ligne $i$ et colone $j$. +On appellera par la suite $(e_0,\cdots,e_{m-1})$ \emph{base canonique} de $\mathbb{R}^m$. +On note $f(e_j)_i = M_f(i,j)$, c'est l'entrée de $M_f$ se situant à la ligne $i$ et colonne $j$. \begin{propriete} La fonction $M_\square$ est une bijection. \end{propriete} -Nous définisson la mutliplication matricielle de la manière suiavante : +Nous appelons $\mathbb{R}_{n,m}$ l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $m$ colonnes. + +Nous définissons la multiplication matricielle de la manière suivante : Soient $f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n)$ et $g\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^o)$. Alors \begin{equation*} @@ -91,7 +93,7 @@ Alors \begin{definition} \label{def:background-alg-tr} Soit $M$ une matrice à $n$ lignes et colonnes. - Alors nous définisson la trace de $M$ de la manière suivante. + Alors nous définissons la trace de $M$ de la manière suivante. \begin{equation*} \text{Tr}(M)=\sum_{i=0}^{n-1}M(i,i) \end{equation*} |