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diff --git a/background/dif.tex b/background/dif.tex index 0d1b106..6484923 100644 --- a/background/dif.tex +++ b/background/dif.tex @@ -1,13 +1,13 @@ Le but du calcul différentiel est l'étude des variations infinitésimales des fonctions. Nous allons nous contenter ici d'étudier les fonctionnelles, c'est-à-dire des fonctions de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ car c'est ce dont nous allons avoir besoin en apprentissage automatique. -\begin{definition}{Produit scalaire euclidien} +\begin{definition}[Produit scalaire euclidien] \label{def:background-dif-scal} Soit $(x,y){\in\mathbb{R}^n}^2$ alors le produit scalaire euclidien est \begin{equation*} \langle x,y \rangle = \sum_{i=0}^{n-1}x_iy_i \end{equation*} \end{definition} -\begin{definition}{Norme euclidienne} +\begin{definition}[Norme euclidienne] \label{def:background-dif-eucl} Soit $x\in\mathbb{R}^n$, nous définissons le norme euclidienne de $x$ par l'expression suivante \begin{equation*} @@ -15,7 +15,7 @@ Nous allons nous contenter ici d'étudier les fonctionnelles, c'est-à-dire des \end{equation*} \end{definition} -\begin{definition}{Limite} +\begin{definition}[Limite] \label{def:background-dif-lim} Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^m$ dans $\mathbb{R}^n$. Soit $x\in\mathbb{R}^m$. @@ -26,7 +26,7 @@ Nous allons nous contenter ici d'étudier les fonctionnelles, c'est-à-dire des Nous écrivons $lim_{a\rightarrow x}f(a)=y$ car $y$ est alors unique~\cite{Bourrigan2021-dd}. \end{definition} -\begin{definition}{Différentielle} +\begin{definition}[Différentielle] \label{def:background-dif-dif} Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$. Nous dirons que $f$ est différentiable en $a\in\mathbb{R}^n$ si et seulement si il existe |