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diff --git a/background/dif.tex b/background/dif.tex index 2ba01f1..9435c24 100644 --- a/background/dif.tex +++ b/background/dif.tex @@ -1,5 +1,5 @@ -Le but du calcul diférentiel est l'étude des variation infinitésimale des fonctions. -Nous allons nous contenter ici d'étudier les fonctionelles, c'est à dire des fonction de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ car c'est ce dont nous allons avoir besoin en aprentissage automatique. +Le but du calcul différentiel est l'étude des variations infinitésimales des fonctions. +Nous allons nous contenter ici d'étudier les fonctionnelles, c'est-à-dire des fonction de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ car c'est ce dont nous allons avoir besoin en apprentissage automatique. \begin{definition}{Produit scalaire euclidien} \label{def:background-dif-scal} Soit $(x,y){\in\mathbb{R}^n}^2$ alors le produit scalaire euclidien est @@ -9,7 +9,7 @@ Nous allons nous contenter ici d'étudier les fonctionelles, c'est à dire des f \end{definition} \begin{definition}{Norme euclidienne} \label{def:background-dif-eucl} - Soit $x\in\mathbb{R}^n$, nous definisson le norme euclidienne de $x$ par l'expression suivante + Soit $x\in\mathbb{R}^n$, nous définissons le norme euclidienne de $x$ par l'expression suivante \begin{equation*} ||x||={\langle x,x\rangle}^{\frac{1}{2}} \end{equation*} @@ -23,37 +23,25 @@ Nous allons nous contenter ici d'étudier les fonctionelles, c'est à dire des f \begin{equation*} \forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall a\in\mathbb{R}^m~||a-x||<\delta\implies||f(a)-y||<\varepsilon \end{equation*} - Nouse ecrivons alors $lim_{a\rightarrow x}f(a)=y$ car $y$ est alors unique~\cite{Bourrigan2021-dd}. + Nous écrivons alors $lim_{a\rightarrow x}f(a)=y$ car $y$ est alors unique~\cite{Bourrigan2021-dd}. \end{definition} -\begin{definition}{Differentielle} +\begin{definition}{Différentielle} \label{def:background-dif-dif} Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$. Nous dirons que $f$ est différentiable en $a\in\mathbb{R}^n$ si et seulement si il existe $df(a)\in\mathbb{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ - telle que il existe $\varepsilon:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ telle que pour tout $h\in\mathbb{R}^n$ + telle que il existe $\varepsilon:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ telle que pour tout $h\in\mathbb{R}^n$ \begin{equation*} f(a+h) = f(a)+df(a)h+||h||\varepsilon(h) \end{equation*} avec $lim_{h\rightarrow 0}\varepsilon(h)=0$. - $df(a)$ s'apelle la \emph{diférentielle} de $f$ en $a$. + $df(a)$ s'appelle la \emph{différentielle} de $f$ en $a$. \end{definition} -Dans le cas où $f$ est différentiable en tout point de $\mathbb{R}^n$ alors -la fonction $f$ peut être vu comme $n$ fonction $f_0\cdots f_{n-1}$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ avec -\begin{equation*} - f(x)=\left( - \begin{matrix} - f_0(x_0) - \cdots - f_{n-1}(x_{n-1}) - \end{matrix} - \right) -\end{equation*} -Toutes les fonctions de $f_i$ sont différentiables. \begin{definition} \label{def:background-math-grad} - Pour tout $x\in\mathbb{R}$ nous définison la $i$ème dérivée partielle de $f$ par + Pour tout $x\in\mathbb{R}$ nous définissons la $i$ème dérivée partielle de $f$ par \begin{equation*} \partial_i f :\left\{ \begin{matrix} @@ -79,7 +67,7 @@ Toutes les fonctions de $f_i$ sont différentiables. \right. \end{equation*} \end{definition} -Pour le.a lecteur.ice familier avec la dériviabilité notons que +Pour le.a lecteur.ice familier avec la dérivabilité notons que \begin{equation*} lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+he_i)-f(x)}{h} = \partial_i f(x) \end{equation*} |