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diff --git a/background/ml.tex b/background/ml.tex index 0f1b426..55fce3c 100644 --- a/background/ml.tex +++ b/background/ml.tex @@ -27,7 +27,8 @@ C'est une fonction qui sert à déterminer à quel point une prédiction est bon C'est-à-dire que plus la fonction de coût renvoie une valeur petite, meilleur est le modèle. Nous définissons le modèle suivant : -\begin{equation*} +\begin{equation} + \label{eq:background-ml-model} f: \left\{ \begin{matrix} @@ -35,7 +36,7 @@ Nous définissons le modèle suivant : x\mapsto f(x,\theta) \end{matrix} \right. -\end{equation*} +\end{equation} Alors une fonction de coût, est une fonction $l$ de $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^+$. On se donne l'espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{T},P)$. Soit $\mathcal{V}$ l'ensemble des variables aléatoires de $\Omega$ dans $\mathbb{R}^+$. @@ -56,7 +57,12 @@ Nous pouvons ainsi définir le coût induit par un choix de paramètres par la f \end{matrix} \right. \end{equation*} -Ainsi nous avons une fonctionnelle $c:\theta\mapsto E(C(\theta))$ en prenant l'espérance de coût. +Ainsi nous avons une fonctionnelle +\begin{equation} + \label{eq:background-ml-cout} + c:\theta\mapsto E(C(\theta)) +\end{equation} +en prenant l'espérance de coût. Nous pouvons donc appliquer une descente de gradient comme vu à la Section~\ref{sec:background-opti-sgd} pour résoudre le problème suivant : \begin{equation*} \text{min}_{\theta\in\Theta}c(\theta) |