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diff --git a/background/opti.tex b/background/opti.tex index 0472d26..bb2ec17 100644 --- a/background/opti.tex +++ b/background/opti.tex @@ -1,27 +1,27 @@ -L'optimisation est une branche des mathématiques appliquées qui cherche à trouver les points pour lequels une fonctions réalise un certain nombre d'exigences. -Le lecteur pourra se reférer par exemple au libre de Phillipe G. Ciarlet \textit{Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation}~\cite{ciarlet} pour une présentation très complète d'un grand nombre de techniques. -Dans ce manuscrit nous ne nous interesseront qu'a deux type de problèmes liées à l'apprantissange automatique et surtout au réseaux de neuronnes. -Le premier de ces problèmes est la minimisation sans contrainte d'une fonctionelle convexe. -Cela permet l'entraînement de modèle d'apprantissage automatique à l'aide d'une fonction de coût. +L'optimisation est une branche des mathématiques appliquées qui cherche à trouver les points pour lesquels une fonction réalise un certain nombre d'exigences. +Le lecteur pourra se référer par exemple au livre de Phillipe G. Ciarlet \textit{Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation}~\cite{ciarlet} pour une présentation très complète d'un grand nombre de techniques. +Dans ce manuscrit nous ne nous intéresserons qu'a deux type de problèmes liées à l'apprentissage automatique et surtout au réseaux de neurones. +Le premier de ces problèmes est la minimisation sans contrainte d'une fonctionnelle convexe. +Cela permet l'entraînement de modèles d'apprentissage automatique à l'aide de fonctions de coûts. Le second problème reprend le premier mais y ajoute des contraintes. C'est à dire, comme minimise-t'on le coût tout en garantissant certaines conditions ? \subsubsection{Optimisation sans contrainte : Descente de gradient} \label{sec:background-opti-sgd} -Nous appellons fonctionelles les fonctions $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$. -Soit $J$ une fonctionelle convexe, nous cherchons à trouver $x\in\mathbb{R}$ tel que $J(x) = \text{inf}\{J(t)\mid t\in\mathbb{R}\}$. -Pour simplifier cette rapide présentation, nous supposerons que $J$ à toujours les conditions de régularité (diférentiabilié) suffisante pour les opérations que nous appliquerons. +Nous appelons fonctionnelles les fonctions de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$. +Soit $J$ une fonctionnelle convexe, nous cherchons à trouver $x\in\mathbb{R}^n$ tel que $J(x) = \text{inf}\{J(t)\mid t\in\mathbb{R}^n\}$. +Pour simplifier cette rapide présentation, nous supposerons que $J$ à toujours les conditions de régularité (différentiabilité) suffisante pour les opérations que nous appliquerons. Pour trouver $x$ qui minimise $J$ une des méthode les plus utilisé en apprentissage automatique est la descente de gradient. -Il s'agit de construire une suite $(x_k)_{k\in\mathbb{N}}$ telle que à chauqe étape la direction de descente soit optimale. -L'idée pour arriver à cela et de considérer une approximation de l'accroissement de $J$ en utiliant la définition du gradient. +Il s'agit de construire une suite $(x_k)_{k\in\mathbb{N}}$ telle que à chaque étape la direction de descente soit optimale. +L'idée pour arriver à cela est de considérer une approximation de l'accroissement de $J$ en utilisant la définition du gradient. -On cherche $h$ tel que $||h||=1$ et $J(x_k+h)$ soit minimal. +On cherche $h$ tel que $||h||=1$ et $J(x_k+h)$ soit minimal. D'après la définition du gradient \begin{equation*} J(x_k+h) = J(x_k) + \langle\nabla J(x_k),h\rangle + ||h||\epsilon(h) \end{equation*} On cherche alors à résoudre (*) : $min_{||h||=1}\langle\nabla J(x_k),h\rangle$. -D'après l'inégalite de Cauchy-Schwartz +D'après l'inégalité de Cauchy-Schwartz \begin{equation*} \forall h~||h||=1\implies~|\langle\nabla J(x_k),h\rangle |\leq ||\nabla J(x_k)|| \end{equation*} @@ -32,14 +32,14 @@ Et aussi \end{equation*} $h=-\frac{\nabla J(x_k)}{||\nabla J(x_k)||}$ est donc solution de (*) pour que $\langle\nabla J(x_k),h\rangle$ soit négatif. -Ainsi la méthode de déscente de gradient est définit par la suite +Ainsi la méthode de descente de gradient est définit par la suite $x_{k+1}=x_k-l_k\nabla J(x_k)$. $l_k$ est appelé le pas. -En théorie nous pouvons lire dans le libre de Ciarlet qu'il existe de multiple manière de trouver un pas optimale ou approprié à la fonctionelle $J$. -Cependant, en apprantissage automatique le hypothèse necessaire pour obtenir l'optimalité sont souvent absentes, en pratique le pas est souvant choisit constant $\exists c\forall k~l_k=c$. +En théorie nous pouvons lire dans le livre de Ciarlet qu'il existe de multiple manières de trouver un pas optimale ou approprié à la fonctionnelle $J$. +Cependant, en apprentissage automatique les hypothèses nécessaires pour obtenir l'optimale sont souvent absentes, en pratique le pas est souvent choisit constant $\exists c\forall k~l_k=c$. -Nous montrons dans la Figure~\ref{fig:background-opti-gd} le fonctionement de la méthode de gradient à pas fixe en dimension un pour une fonctionelle convexe. -Avec une illustration de la convergence de l'écart entre $J(x_k)$ et le minimum. +Nous montrons dans la Figure~\ref{fig:background-opti-gd} le fonctionnement de la méthode de gradient à pas fixe en dimension un pour une fonctionnelle convexe +avec une illustration de la convergence de l'écart entre $J(x_k)$ et le minimum. \begin{figure} \centering \begin{subfigure}{0.45\linewidth} @@ -60,21 +60,21 @@ Avec une illustration de la convergence de l'écart entre $J(x_k)$ et le minimum \subsubsection{Optimisation sous contraintes : multiplicateurs de Lagrange} -\label{ref:background-opti-sous} -Pour expliquer ce qu'est l'optimisation sous contraintes, represnons les mots de Philipe G. Ciarlet : -\textquote{On s'interesse au problème suivant : trouver des conditions \emph{nécessaires}, et des conditions \emph{suffisantes}, pour qu'un point d'un ensemble $U$ soit un extremum relatif de la restriction à l'ensemble $U$ d'une fonction $J$ définie sur un ensemble "plus grands". [...] +\label{sec:background-opti-sous} +Pour expliquer ce qu'est l'optimisation sous contraintes, reprenons les mots de Philipe G. Ciarlet : +\textquote{On s'intéresse au problème suivant : trouver des conditions \emph{nécessaires}, et des conditions \emph{suffisantes}, pour qu'un point d'un ensemble $U$ soit un extremum relatif de la restriction à l'ensemble $U$ d'une fonction $J$ définie sur un ensemble "plus grands". [...] Un premier exemple est celui des \emph{extremums relatifs liés}, où l'ensemble $U$ est de la forme \begin{equation*} U=\{v\in V \mid \forall i\in m-1~\varphi_i(v)\leq 0\} \end{equation*} } -On introduit le Lagrangien de ce problèmes par la formule suivante: +On introduit le lagrangien de ce problèmes par la formule suivante: \begin{equation*} L:\left\{ \begin{matrix} V\times\mathbb{R}^m_+\\ - (v,\mu)\mapsto J(v)+\sum_{i=0}^{m-1}\mu_i\varphi(v) + (v,\mu)\mapsto J(v)+\sum_{i=0}^{m-1}\mu_i\varphi_i(v) \end{matrix} \right. \end{equation*} @@ -86,10 +86,10 @@ c'est-à-dire, un point $(u,\lambda)\in V\times \mathbb{R}^m_+$ tel que \end{equation*} $u$ est alors solution du problème. -Il est donc suffisant de connaitre $\lambda$ appelé \emph{multiplicateurs de Lagrange} pour pouvoir trouver $u$ en se ramensant au cas sans contraintes de la section précédente. -Trouver $\lambda$ s'apelle le \emph{problème dual} en contrepartie de la recheche de $u$ qui est le \emph{problème primal}. -Le problème dual bénéficie du fait que ces contraintes sont plus simples car il sagi uniquement de la positivité des multiplicateur de Lagrange. +Il est donc suffisant de connaître $\lambda$ appelé \emph{multiplicateurs de Lagrange} pour pouvoir trouver $u$ en se ramenant au cas sans contraintes de la section précédente. +Trouver $\lambda$ s'appelle le \emph{problème dual} en contrepartie de la recherche de $u$ qui est le \emph{problème primal}. +Le problème dual bénéficie du fait que les contraintes sont plus simples car il s'agit uniquement de la positivité des multiplicateur de Lagrange. Le problème dual s'écrit donc $sup (inf_{v\in V}L(v,\square))$. -Pour une présentation plus complète des multiplicateurs de Lagrange et de la dualité voir les Sections 7.2 et 9.3 du Livre de Ciarlet~\cite{ciarlet} +Pour une présentation plus complète des multiplicateurs de Lagrange et de la dualité voir les Sections 7.2 et 9.3 du livre de Ciarlet~\cite{ciarlet} |