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diff --git a/background/proba.tex b/background/proba.tex index 5bce111..1cfe29e 100644 --- a/background/proba.tex +++ b/background/proba.tex @@ -56,6 +56,21 @@ Nous definisson la mesure image de $f$ par $d$, que nous notons $d_f$, par l'exp \right. \end{equation} +\begin{definition}{Intégrale} + Soient $(E,\mathcal{E},\mu)$ et $(F,\mathcal{F},\nu)$ un espace mesuré. + Pour une fonction $f=\sum_{i\in I}\alpha_i 1_{A_i}$, nous dirons étagé, + Avec $\{A_i\mid i\in I\} \subset \mathcal{F}$. + Alors $\int_E f d\nu= \sum_{i\in I}\alpha_i \nu(A_i)$. + + Soit $g$ un fonction mesurable. + Alors il existe une suite $\{(f_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$ de fonctions étagés telle que $lim_{n\rightarrow +\infty} f_n = g$. + Voir la Définition~\ref{def:background-dif-lim} pour une définition de la limite. + On définit alors + \begin{equation*} + \int_{E}gd\nu = lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{E}f_n d\nu + \end{equation*} +\end{definition} + Dans le cas particulier où $d(A) = 1$, nous appelons $d$ une mesure de probabilité. $(A,\mathcal{A},d)$ est alors un espace probailisé et les fonctions mesurables sur cet espace sont appelés variables aléatoires. Le loi de probabilité d'une variable aléatoire $f$ sur $(X,\mathcal{X})$ est la mesure image de $f$ sur $d$. @@ -63,6 +78,13 @@ Nous dirons que deux variables aléatoire $f$ et $g$ sont indépendantes si et s De plus, dans le cas des variables aléatoires, il est courant de d'écrir $\{f\in A\}$ pour $f^{-1}(A)$ et $\{f=a\}$ pour $f^{-1}(\{a\})$. +\begin{definition}{Esperence} + Pour une variable aléatoire $X$, on définit l'espérence de $X$ par la formule suivante. + \begin{equation*} + E(X) = \int_{\Omega}X(\omega)dP(\omega) + \end{equation*} +\end{definition} + %Having introduced probability theory, we explicit the relation with the ML theory described previously. %Let $I$ a finite set, $\mathcal{X}$, $\mathcal{S}$ and $\mathcal{Y}$ the sets of features, sensitive attribute and label. |