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diff --git a/background/proba.tex b/background/proba.tex index 1cfe29e..55bca7a 100644 --- a/background/proba.tex +++ b/background/proba.tex @@ -57,20 +57,24 @@ Nous definisson la mesure image de $f$ par $d$, que nous notons $d_f$, par l'exp \end{equation} \begin{definition}{Intégrale} - Soient $(E,\mathcal{E},\mu)$ et $(F,\mathcal{F},\nu)$ un espace mesuré. + Soient $(E,\mathcal{E},\mu)$ un espace mesuré. Pour une fonction $f=\sum_{i\in I}\alpha_i 1_{A_i}$, nous dirons étagé, - Avec $\{A_i\mid i\in I\} \subset \mathcal{F}$. - Alors $\int_E f d\nu= \sum_{i\in I}\alpha_i \nu(A_i)$. + Avec $\{A_i\mid i\in I\} \subset \mathcal{E}$ et $\alpha_i\in\mathbb{R}^+$. + alors $\int_E f d\mu= \sum_{i\in I}\alpha_i \mu(A_i)$. - Soit $g$ un fonction mesurable. - Alors il existe une suite $\{(f_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$ de fonctions étagés telle que $lim_{n\rightarrow +\infty} f_n = g$. - Voir la Définition~\ref{def:background-dif-lim} pour une définition de la limite. - On définit alors + Soit $g$ un fonction mesurable de $(E,\mathcal{E},\mu)$ dans $\mathbb{R}^+$, alors \begin{equation*} - \int_{E}gd\nu = lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{E}f_n d\nu + \int_{E}gd\mu = sup\left\{\int_E fd\mu\mid f~\text{est étagé}\wedge f\leq g\right\} + \end{equation*} + + Enfin dans le cas générale de $h$ une fonction mesurable de $(E,\mathcal{E},\mu)$ dans $\mathbb{R}$, alors + si $\int_E |h|d\mu\in\mathbb{R}$ on pose + \begin{equation*} + \int_E hd\mu = \int_E max(h,0)d\mu - \int_E max(-h,0)d\mu \end{equation*} \end{definition} + Dans le cas particulier où $d(A) = 1$, nous appelons $d$ une mesure de probabilité. $(A,\mathcal{A},d)$ est alors un espace probailisé et les fonctions mesurables sur cet espace sont appelés variables aléatoires. Le loi de probabilité d'une variable aléatoire $f$ sur $(X,\mathcal{X})$ est la mesure image de $f$ sur $d$. |