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diff --git a/background/proba.tex b/background/proba.tex index 55bca7a..2ff37b7 100644 --- a/background/proba.tex +++ b/background/proba.tex @@ -1,19 +1,19 @@ -La théorie des probability est profondément liée à l'apprentissage automatique. -Les propriétés de modèles comme la confidentialité différencielle, les définitions d'équitée, les métriques d'utilité, etc. que nous aborderons en Section~\ref{sec:background-ml} s'ecrivent en terme de probabilité. -Ainsi nous présentons les notions de probabitlié et de théorie d la mesure que nous allons utiliser. +La théorie des probabilités est profondément liée à l'apprentissage automatique. +Les propriétés de modèles comme la confidentialité différentielle, les définitions d'équité, les métriques d'utilité, etc. que nous aborderons en Section~\ref{sec:background-ml} s'écrivent en terme de probabilité. +Ainsi nous présentons les notions de probabilités et de théorie de la mesure que nous allons utiliser. A la manière de la Section~\ref{sec:background-set}, notre présentation à principalement le but de fixer les objets que nous utiliserons dans les prochaines sections et non pas d'être un cours complet. -Si le lecteur souhaite en apprendre plus sur la theorie de la mesur nous le renvoyons vers les notes de cours de Thierry Gallay de l'université Joseph Fourrier~\cite{mesure}. -Si il souhait explorer plus en avant les probabilités il poura consulter les notes de cours de Jean-François Le Gall de l'Ecole Normale Supérieur de Paris~\cite{proba}. +Si le.la lecteur.rice souhaite en apprendre plus sur la théorie de la mesure nous le renvoyons vers les notes de cours de Thierry Gallay de l'université Joseph Fourrier~\cite{mesure}. +Si il.elle souhait explorer plus en avant les probabilités il.elle pourra consulter les notes de cours de Jean-François Le Gall de l'École Normale Supérieur de Paris~\cite{proba}. Soit $A$ un ensemble. -Nous appelons une tribue que nous notons $\mathcal{A}$ un sous esemble de $\mathcal{P}(A)$ qui contien $\emptyset$ et $A$, qui est stable par complémentaire et qui est stable par union dénombrable d'elements de $\mathcal{A}$. -Nous disons que $(A,\mathcal{A})$ est un espace mesurable. -Soit maintenant $A\subset\mathcal{P}(A)$, nous appellons $\sigma(A)$ la plus petite tribue pour l'intersection qui contienne tous les élements de $A$. +Nous appelons une tribu que nous notons $\mathcal{A}$ un sous ensemble de $\mathcal{P}(A)$ qui contient $\emptyset$ et $A$, qui est stable par complémentaire et qui est stable par union dénombrable d'éléments de $\mathcal{A}$. +Nous disons alors que $(A,\mathcal{A})$ est un espace mesurable. +Soit maintenant $A\subset\mathcal{P}(A)$, nous appelons $\sigma(A)$ la plus petite tribu pour l'intersection qui contient tous les éléments de $A$. Nous appelons mesure, une fonction $d$ :$\mathcal{A}$ $\rightarrow$ $[0,+\infty]$ telle que $d(\emptyset) = 0$ et $d\left(\bigcup_{i\in \mathbb{N}} A_i\right) = \sum_{i\in \mathbb{N}}d(A_i)$ pour tout $(A_1, A_2, \cdots) \in \mathcal{A}^\mathbb{N} $ avec $\forall (i,j) A_i\cap A_j = \emptyset$. Nous disons alors que $(A, \mathcal{A}, d)$ est un espace mesuré. -Pour un espace mesurable $(A,\mathcal{P}(A))$, la mesure de dirac est la mesure telle que pour $a\in A$ +Pour un espace mesurable $(A,\mathcal{P}(A))$, la mesure de Dirac est la mesure telle que pour $a\in A$ \begin{equation*} \delta_a : \left\{ \begin{matrix} @@ -44,7 +44,7 @@ Alors l'espace $(A\times B,\mathcal{A}\otimes\mathcal{B},d\otimes e)$ est un esp Nous appelons fonction mesurable, une fonction de $A$ à $B$ telle que $\forall b\in\mathcal{B}$~$f^{-1}(b)\in\mathcal{A}$. Nous notons alors $f:(A, \mathcal{A})\rightarrow (B, \mathcal{B})$ ou $f:(A, \mathcal{A},d)\rightarrow (B, \mathcal{B})$ -Nous definisson la mesure image de $f$ par $d$, que nous notons $d_f$, par l'expression suivante : +Nous définissons la mesure image de $f$ par $d$, que nous notons $d_f$, par l'expression suivante : \begin{equation} d_f: \left\{ @@ -59,7 +59,7 @@ Nous definisson la mesure image de $f$ par $d$, que nous notons $d_f$, par l'exp \begin{definition}{Intégrale} Soient $(E,\mathcal{E},\mu)$ un espace mesuré. Pour une fonction $f=\sum_{i\in I}\alpha_i 1_{A_i}$, nous dirons étagé, - Avec $\{A_i\mid i\in I\} \subset \mathcal{E}$ et $\alpha_i\in\mathbb{R}^+$. + avec $\{A_i\mid i\in I\} \subset \mathcal{E}$ et $\alpha_i\in\mathbb{R}^+$. alors $\int_E f d\mu= \sum_{i\in I}\alpha_i \mu(A_i)$. Soit $g$ un fonction mesurable de $(E,\mathcal{E},\mu)$ dans $\mathbb{R}^+$, alors @@ -75,15 +75,24 @@ Nous definisson la mesure image de $f$ par $d$, que nous notons $d_f$, par l'exp \end{definition} -Dans le cas particulier où $d(A) = 1$, nous appelons $d$ une mesure de probabilité. - $(A,\mathcal{A},d)$ est alors un espace probailisé et les fonctions mesurables sur cet espace sont appelés variables aléatoires. -Le loi de probabilité d'une variable aléatoire $f$ sur $(X,\mathcal{X})$ est la mesure image de $f$ sur $d$. -Nous dirons que deux variables aléatoire $f$ et $g$ sont indépendantes si et seulement si la loi de la variables aléatoire $h:\omega\mapsto (f(\omega),g(\omega))$ est la mesur produit de la loi de $f$ et $g$. +Dans le cas particulier où $d(A) = 1$, nous appelons $d$ une mesure de probabilité + $(A,\mathcal{A},d)$ est alors un espace probabilisé et les fonctions mesurables sur cet espace sont appelés variables aléatoires. +Pour un évènement $a\in\mathcal{A}$ tel que $d(a)\neq 0$, la probabilité conditionnelle est +\begin{equation*} + d(\square\mid a):\left\{ + \begin{matrix} + \mathcal{A}\rightarrow [0,1]\\ + b\mapsto \frac{d(a\cap b)}{d(a)} + \end{matrix} + \right. +\end{equation*} +La loi de probabilité d'une variable aléatoire $f$ sur $(X,\mathcal{X})$ est la mesure image de $f$ sur $d$. +Nous dirons que deux variables aléatoire $f$ et $g$ sont indépendantes si et seulement si la loi de la variables aléatoire $h:\omega\mapsto (f(\omega),g(\omega))$ est la mesure produit de la loi de $f$ et $g$. -De plus, dans le cas des variables aléatoires, il est courant de d'écrir $\{f\in A\}$ pour $f^{-1}(A)$ et $\{f=a\}$ pour $f^{-1}(\{a\})$. +De plus, dans le cas des variables aléatoires, il est courant d'écrire $\{f\in A\}$ pour $f^{-1}(A)$ et $\{f=a\}$ pour $f^{-1}(\{a\})$. -\begin{definition}{Esperence} - Pour une variable aléatoire $X$, on définit l'espérence de $X$ par la formule suivante. +\begin{definition}{Espérance} + Pour une variable aléatoire $X$, on définit l'espérance de $X$ par la formule suivante. \begin{equation*} E(X) = \int_{\Omega}X(\omega)dP(\omega) \end{equation*} |