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diff --git a/background/set.tex b/background/set.tex index c058648..2e660f6 100644 --- a/background/set.tex +++ b/background/set.tex @@ -42,11 +42,58 @@ Pour tout ensemble $A$ il existe un ensemble $\mathcal{P}(A)$ qui est l'ensemble Pour toute formule $F$ (au sens du clacul des prédicats et du vocabulaire $\in$, $=$) qui ne pédend pas de $B$ et tout ensemble A, il existe un ensemble $B = \{a\in A | F\}$ qui est tel que $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$ -\paragraph{Axiome du choix} -\begin{definition}[Fonction] -qsdf +\begin{definition}[Fonctions] + + \textbf{2-uplet.} + Nous définissons pour tout ensemble $A$ et $B$ le \emph{2-uplet} $(A,B)$ par $\{\{A\},\{A,B\}\}$. + + \textbf{Relation.} + Nous appelons \emph{relation} un ensemble de 2-uplets. + L'\emph{ensemble de définision} d'une relation $R$ est + $\mathcal{D}_R = \{x~|~\exists y~(x,y)\in R\}$. + L'\emph{image} d'une relation est $Img(R) = \{y~|~\exists x~(x,y)\in R\}$. + Une relation symmetrique ($\forall x\forall y~(x,y)\in R \iff (y,x)\in R$), + reflexive ($\forall x~(x,x)\in R$) et + transitive ($\forall x\forall y\forall z~(x,y)\in R\wedge (y,z)\in R\implies (x,z)\in R $) + est appelé une \emph{relation d'équivalance}. + Pour tout $a$, nous notons $[a]_R = \{b~|~(a,b)\in R\}$ la \emph{classes d'équivalance} de $a$. + Nous notons $A/R$ l'ensemble des classes d'équivlance d'une relation $R$ sur un ensemble $A$. + + \textbf{Fonction.} + Une \emph{fonction} $f$ est un relation telle que + \begin{equation} + \forall x\in D_f\left((x,y)\in f\wedge (x,z)\in f\implies y=z\right) + \end{equation} + Pour tout ensemble $E$ et $F$ tels que $D_f\subset E$ et $Img(f)\subset F$ nous notons + \begin{equation} + f: + \left\{ + \begin{matrix} + E\rightarrow F\\ + x\mapsto f(x) + \end{matrix} + \right. + \end{equation} + Où la notation $x\mapsto f(x)$ signifie que $(x,f(x))\in f$. + + \textbf{Produit cartésien.} + Soit $A$ un ensemble $f$ une fonctions + \begin{equation} + \bigtimes_{a\in A}f(a) = + \left\{ + g~|~D_g=A\wedge (\forall a\in A~g(i)\in f(i)) + \right\} + \end{equation} + \end{definition} +\paragraph{Axiome du choix} +Cette axiome nous assure qui si tous les termers du produit cartérise sons non-vides alors le produits cartésien est non-vide. +\begin{equation} + \forall a\in A f(a)\neq\emptyset \implies + \bigtimes_{a\in A}f(a) \neq\emptyset +\end{equation} + \paragraph{Axiome de l'infini} \begin{equation} \exists A\forall a\in A~(\emptyset \in A \wedge a^+\in A) @@ -55,6 +102,8 @@ Où $a^+ = a\cup \{a\}$. Nous appelons un tel $A$, un ensemble récursif. \begin{definition}[Ensemble usuels] + + \textbf{Entiers.} Soit $C$ la classe des ensembles récursif. Soit $A$ un ensemble récursif. Nous appelons $\mathbb{N}$ l'ensemble des entier naturels que nous définissons comme suit : @@ -62,16 +111,129 @@ Nous appelons $\mathbb{N}$ l'ensemble des entier naturels que nous définissons \mathbb{N} = \{n\in A~|~\forall c\in C~n\in c\} \end{equation} $\mathbb{N}$ est bien en ensemble d'après l'axiome Aussonderung. -Cette construction permet de définir les opérations d'addition et de multiplication~\cite{enderton1977elements} ainsi que les autres ensembles usuels qui nous utiliserons dans ce manuscrit. -Ainsi nous définisson $\mathbb{Z} = \{$ : l'ensemble des entiers relatifs l'union de $\mathbb{N}$ et de $-\mathbb{N} = \{$ + Cette construction permet de définir les opérations d'addition ($+$) et de multiplication ($\cdot$)~\cite{enderton1977elements}. -\end{definition} +\textbf{Entiers relatifs.} +La relation +\begin{equation} + R = + \left\{ + ((a,b),(c,d))\in{\mathbb{N}^2}^2~|~ + a+d = b+c + \right\} +\end{equation} +est une relation d'équivalance sur $\mathbb{N}^2$. + Nous définissons alors l'ensemble des \emph{entiers relatifs} $\mathbb{Z}=\mathbb{N}^2/R$. -\paragraph{Axiome de remplacement} +\textbf{Nombres rationels.} +La relation +\begin{equation} + S = + \left\{ + ((a,b),(c,d))\in{\left(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*\right)}^2~|~ + a\cdot d = b\cdot c + \right\} +\end{equation} + est une relation d'équivalance sur $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*$. + Nous définissons alors l'ensemble des \emph{Nombres rationels} $\mathbb{Q}=\left(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*\right)/S$. + +\textbf{Nombres réels} + \begin{definition}[Suite de Cauchy] + Une \emph{suite} $u$ sur un ensemble de $A$ est une fonction de $\mathbb{N}$ dans $A$. On note $u(n) = u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. + + Une \emph{suite de Cauchy} $u$ sur $\mathbb{Q}$ est elle que + \begin{equation} + \forall \varepsilon\in\mathbb{Q}~ + \exists N\in\mathbb{N}~ + \forall (a,b) \in \mathbb{N}^2~ + a\geq N\wedge b\geq N \implies + |u_a-u_b|\leq\varepsilon + \end{equation} + + Soit $C$ l'ensemble des suite de Cauchy sur $\mathbb{Q}$. + \end{definition} + +La relation +\begin{equation} + T = + \left\{ + (u,v)\in C^2~|~ + \forall\varepsilon~ + \exists N\in\mathbb{N}~ + \forall (a,b)\in\mathbb{N}^2~ + a\geq N\wedge b\geq N \implies + |u_a-v_b|\leq\varepsilon + \right\} +\end{equation} + est une relation d'équivalance sur $C^2$. + Nous définissons alors l'ensemble des \emph{Nombres réels} $\mathbb{R}=C/T$. + +\end{definition} \paragraph{Axiome de régularitée} +Tout ensemble non-vide a un élément disjoint de cet ensemble. +\paragraph{Axiome de remplacement} +Soit $F(a,b)$ un formule qui ne dépend pas de $B$. +\begin{equation} + \forall A\forall y\forall z + \left( + \forall (x\in A~F(x,y)\wedge F(x,z)\implies x=z)\implies + (\exists B~B=\{y~|~\exists x\in A~F(x,y)\}) + \right) +\end{equation} +\subsubsection{Arithmétique} +Avec un niveau d'abstraction supplémentaire, nous considérons désormais que $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$. +Cela est possible grace aux injéctions canoniques suivantes : +\begin{equation} + \left\{ + \begin{matrix} + \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}\\ + n\mapsto (n,0) + \end{matrix} + \right. +\end{equation} +\begin{equation} + \left\{ + \begin{matrix} + \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Q}\\ + (a,b)\mapsto ((a,b),(1,1)) + \end{matrix} + \right. +\end{equation} +\begin{equation} + \left\{ + \begin{matrix} + \mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{R}\\ + (a,b)\mapsto + \left[ + \left\{ + \begin{matrix} + \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Q}\\ + n\mapsto (a,b) + \end{matrix} + \right. + \right]_T + \end{matrix} + \right. +\end{equation} +Nous identifions aussi $\mathbb{R}$ aux réprésentation en base 10 de ses éléments. +Et nous utiliserons les opérations usuelles $+$, $\cdot$, $-$ et $/$ ainsi que la relation d'ordre $<$ sur ces représentation. +En générale il est possible de construire ces opérations sans utiliser la représentation en base 10~\cite{enderton1977elements} mais une telle construction est hors de propos pour ce manuscrit. + +\subsubsection{Cardinal} +La notion de cardinal cherche à comparer la taille d'ensembles arbitraires. +Nous n'allons pas ici considérer la théorie de ordinaux de Van Neumann qui compléte notre simplification. +Le lecteur souhaitant aller plus loin et apprendre cette théorie peut se référer aux chapitres 6,7,8 et 9 de \textit{Elements of set thoery} de Herbert B. Enderton~\cite{enderton1977elements}. +Notre simplification est ce suffit à elle même pour les dévelopement qui nous allons présenter dans ce manuscrit. + +Nous dirons donc que tout ensemble $A$ à un cardinal que nous noterons $\#A$. +Si $A$ est en bijection avec $n\in\mathbb{N}$ alors $\#A = n$. +Nous dirons alors que $A$ est un ensemble fini. +Dans le cas contraite nous dirons que $A$ est infini. +Si $A$ est en bijection avec un sous ensemble de $\mathbb{N}$ nous dirons que $A$ est dénombrable et que sons cardinal est $\#A = \aleph_0$. +Enfin nous dirons que deux ensemble arbitraires ont le même cardinal si et seulement si ils sont en bijection. |