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--- a/background/main.tex
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@@ -43,12 +43,7 @@ a & b & a\iff b & a\implies b & a\wedge b & a\vee b & \neg a\\
 
 \subsection{Optimisation}
     \label{sec:background-opti}
-    \subsubsection{Multiplicateurs de Lagrange}
-
-    \subsubsection{Descente de gradient}
-        \paragraph{Descente de gradient stochastique}
-
-        \paragraph{Descente de gradient exponentiée}
+    \input{background/opti}
 
 \section{Apprentissage automatique}
     \label{sec:background-ml}
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--- a/background/ml.tex
+++ b/background/ml.tex
@@ -1,20 +1,199 @@
+L'aprantissiage automatique\footnote{\textit{Machine learning}} est le fondement de l'IA moderne.
+
+
 \subsection{Principe}
+Repprenosn la définition de L'IA donnée dans le reglement UE 2024/1689 pour une harmonisation des regulations relatives a l'IA~\cite{aiact} et notamant la Figure~\ref{fig:contexte-IAUE}.
+Cette definition exprime bien le fonctionement d'un modèle d'apprantissage automatique.
+Le modèle est un fonctione qui prend en entrée une donnée d'entrée et des parametre et qui renvoi un prédiction.
+Le vie d'un modèle se passe en deux étape.
+Premièrement il faut trouver des paramètres qui assurent un bon fonctionnement du modèle.
+En générale le bon fonctionement se défini en disant que le modèle a une bonne utilité et respecte le contraintes qui lui sont demandé.
+Ces contraintes peuvent être pour impose l'équité ou la confidentialité par exemple.
+Ensuite, le paramètres sont utilisés pour réaliser de prédictions sur des données nouvelle, qui n'ont en générale pas été utilisés pour l'entraînement.
+Par exemple pour en revnir à la justice prédictive, les paramètre sont trouvé en utilisant des données historique de tribunaux.
+Le modèle est ensuite utilisé sur de nouveaux cas de comdanmé.
+Nous allons présenter ces deux aspects entraîenemnt et évaluation dans les Section qui suivent.
+
 \subsection{Entraîner un modèle}
-    \subsubsection{Fonction de coût}
+Les données qui servent à l'entraînement du modèle doivent posséder une étiquette : c'est-à dire le résultat atendu qui est consédéré comme vraie.
+Dans la justice prédictive il s'agit de savoir si le coupabe à été récidiviste après avoir été libéré.
+Pour prendre un exemple plus scolaire, sur le jeu de donnée Iris~\cite{iris}, on cherche à classifier l'éspèce d'Iris à partir de la longeur et de la largeur des sépales et des pétales.
+Nous utilisons, pour l'entraînement, des données de taille de sépale et pétale pour lesquelles nous conaissons l'espèce d'Iris.
+En utilisant ces données nous ajustons les paramètres pour que le prédiction soit la plus précise possible.
+
+Pour ce faire nous utilisons une fonction de coût.
+C'est une fonction qui sert à déterminer à quel point une prédiction est bonne.
+C'est-à dire que plus la fonction de coût renvoi un valeur petite, meilleur est le modèle.
+
+Nous definisson le modèle suivant. 
+\begin{equation*}
+    f:
+    \left\{
+        \begin{matrix}
+            E\times\Theta\rightarrow \mathbb{R}^n\\
+            x\mapsto f(x,\theta)
+        \end{matrix}
+    \right.
+\end{equation*}
+Alors une fonctions de coût, est une fonction $l$ de $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^+$.
+On se donne l'espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{T},P)$.
+Soit $\mathcal{V}$ l'ensemble des variables aléatoire de $\Omega$ dans $\mathbb{R}^+$.
+
+Nous pouvons ainsi définir le coût induit par un choix de paramètres par la fonction 
+\begin{equation*}
+    C:\left\{
+        \begin{matrix}
+            \Theta\rightarrow \mathcal{V}\\
+            \theta\mapsto 
+                \left\{
+                    \begin{matrix}
+                        \Omega\rightarrow\mathbb{R}^+\\
+                        \omega\mapsto 
+                        l(f(X(\omega),\theta),Y(\omega))
+                    \end{matrix}
+                \right.
+        \end{matrix}
+    \right.
+\end{equation*}
+Ainsi nous avons une fonctionelle $c:\theta\mapsto E(C(\theta))$ en prenant l'espérence de coût.
+Nous pouvons donc appliquer un des algorithmes de minimisation vu à la Section~\ref{sec:background-opti-sgd} pour résoudre le probleme suivant :
+\begin{equation*}
+    \text{min}_{\theta\in\Theta}c(\theta)
+\end{equation*}
+En pratique la quantité $c(\theta)$ est évalué avec la loi des grands nombres~\cite{proba}.
+
+Très souvent l'algorithme d'optimisation utilisé est la déscente de gradient stochastique (SGD)\footnote{\textit{Stochastic gradient descent}}~\cite{amari1993back}, c'est une vérsion modifié de la descente de gradient adapté au réseaux de neurones qui permet d'accelerer la convergence~\cite{bottou2012stochastic} et d'éviter les minima locaux~\cite{bottou1991stochastic}.
+Cette algorithmes évalue l'espérence empirique de $C(\theta)$ sur chaque élément, appelé \textit{mini batch}, d'une partition des données d'entrainement.
+
 \subsection{Evaluer un modèle}
     Nous appelerons ici évaluation d'un modèle le calcule des metriques qui permettent de juger de son utilité.
     Ces métrique varient en fonction du type de modèle et du contexte dans lequel il est utilisé.
     Par exemple il est souhaitable qu'un modèle qui permette de prédir l'absence ou la présence d'une maladie ai un faible taux de faux négatifs.
     Cela permet d'éviter de penser à tords qu'une patient n'est pas malade ce qui pourrai entraîner un retard dans sa prise en charge.
+
     \subsubsection{Classification}
+    \label{sec:backgroung-ml-classif}
     Les modèles de classification visent à attribuer à chaque point des données ébalué une classe parmis un ensemble fini.
     Par exemple, dans le cadre de la justice prédictive, inférer pour chaque coupable si il sera recidivise ou non~\cite{zhiyuan2020limits}.
     Quand il y a deux classes, comme dans l'exemple précédent avec \emph{récidivisite} ou \emph{non-récidiviste}, nous dirons que le modèle effectue un classification binaire.
-    Ce cas est très présent en apprentissage automatique~\cite{} ainsi il existe beaucoup d'outil qui permette d'evaluer ce genre de classifieur.
-        \paragraph{La courbe ROC}
-        \paragraph{La courbe de precision/recall} 
+    Ce cas est très présent en apprentissage automatique~\cite{li2020statistical, kumari2017machine} ainsi il existe beaucoup d'outils qui permettent d'evaluer ce genre de classifieur~\cite{canbek2022ptopi}.
+
+        Nous modélisons le modèle que nous souhaite évaluer par une fonction $f:E\rightarrow \{0,1\}$
+        C'est-à-dire que le modèle prend une donnée d'entrée dans $E$, cela peut être une image ou une ligne d'un tableau, et lui attribut soit la classe $0$ soit la classe $1$.
+        Nous dirons que $0$ est un résultat négatif et $1$ un résultat positif.
+
+        Pour évaluer correctement le modèle, nous devons prendre en compte la répartition dé données dans $E$.
+        Nous modélisons cette repartition par les lois de probabilités de deux variables aléatoires :
+        \begin{itemize}
+        \item $X:\Omega\rightarrow \mathcal{X}$
+        \item $Y:\Omega\rightarrow \{0,1\}$
+        \end{itemize}
+        $(\Omega,\mathcal{T},P)$ est un espace probabilisé.
+        Il n'est pas necessaire que nous définission de manière plus précise cet espace car nous ne nous interessons qu'aux mesure images de $X$ et $Y$ par $P$.
+        Nous pouvons, de la même manière définire une variable aléatoire pour la sortie du modèle : $\hat{Y} = f\circ X$.
+
+        Grace à ces objets, nous allons définir des qunatités qui décrivent l'utilitée du modèle.
+        La première est 
+        l'\textit{accuracy}, c'est la prababilté que le classifieur prédise la bonne classe. Nous la définissons par $P(\hat{Y}=Y)$.
+        Cette définission, bien que très intuitive, souffre qu'elle est sensible au désequillibre de classe~\footnote{\textit{Class imablance}}.
+        Considérons l'exemple suivant : imaginons un modèle depployé en 1982 qui chercheraià prédire si un employé cadre est une femme ou un homme.
+        Supposons que ce modèle ai une \textit{accuracy} de $79\%$, c'est-à-dire que le modèle prédit justement le genre huit fois sur dix, nous dirons certainement que ce modèle est performant ?
+        Voici donc un modèle qui atteint cette performance :
+        \begin{equation}
+        f:
+        \left\{
+        \begin{matrix}
+        \mathcal{X}\rightarrow \{\text{homme},\text{femme}\}\\
+        x\mapsto \text{homme}
+        \end{matrix}
+        \right.
+        \end{equation}
+
+        C'est-à-dire un modèle qui prédise toujours homme.
+        Calculons son \textit{accuracy}, pour plus lisibilité nons encodons homme par $0$ et femme par $1$.
+        Comme le modèle prédit toujours homme, $P(\hat{Y}=0)=1$ et $P(\hat{Y}=1)=0$.
+        \begin{align}
+        &P(\hat{Y}=Y)\nonumber\\
+        &\text{Par la formule des probabilités totale}\nonumber\\
+            =&P(\hat{Y}=0|Y=0)P(Y=0) + P(\hat{Y}=1|Y=1)P(Y=1)\label{eq:background-ml-ac}\\
+            =&1\cdot P(Y=0) + 0\cdot P(Y=1) = P(Y=0)\nonumber
+        \end{align}
+
+        Or, en 1982 il y avait uniquement $21\%$ des cadres qui était des femmes~\cite{insee1982parite}, ansi $P(Y=0)=0,79$ et $P(Y=1)=0,21$.
+        Nous avons donc bien une accuracy de $79\%$ bien que le modèle n'ai aucune utilité pratique !
+
+        Ainsi l'accuracy est significative uniquement quand $Y$ suit une loi uniforme.
+        Nous définisson donc une autre métrique : la \textit{balanced accuracy}.
+        Pour cela nous repartons de l'Equation~\ref{eq:background-ml-ac} et remplacons $P(Y=0)$ et $P(Y=1)$ par $\frac{1}{2}$.
+        Ainsi la \textit{balanced accuracy} est la moyenne et $P(\hat{Y}=0|Y=0)$ et de $P(\hat{Y}=1|Y=1)$.
+        C'est-à-dire que nous regardons pour chaque classes séparément (homme ou femme notre exemple) la probabilité qu'on point soit bien classifié.
+        Ainsi, en calculant la \textit{balanced accuracy} avec l'exemple précedent nous obtenons $\frac{1+0}{2}=0,5$.
+        Ce résultat montre bien que le modèle n'a pas d'utilité.
+
+        \paragraph{La courbe \textit{Receiver Operating Characteristic} (ROC)}
+        Un grand nombre d'algorithme d'apprantissange automatiqeu pour la classification binaire optimise les paramètres d'un e fonctions à valeurs dans $[0,1]$ (ou dans un ensemble un bijection avec $[0,1]$).
+        C'est le cas par exemple des résaux de neuronnes avec un unique neurones dans la couche finale, de la regression logistique, de la forêt aléatoire, etc.
+        Nous appelons cette étape intermédiaire dans la classification, logit ou \textit{soft label}.
+        La classification ce fait grace un seuil sur ce logit.
+        C'est à dire que si on apelle $g(x)$ le logit de $x$, le modèle de classification peut se décomposer par : $f_\uptau = 1_{[\uptau,1]}\circ g$.
+
+    Ainsi si nous calculons l'\textit{accuracy}, la \textit{balance accuracy} ou tout autre metrique que nous avons présenté précédament elle dépendra du seuil ($\uptau$).
+    Pour palier cela nous regarons la ROC : une courbe parametrique qui au seuil associe le tau de faux positif (FPR)\footnote{\textit{False positive rate}} et le tau de vrai positif (TPR)\footnote{\textit{True positive rate}}.
+    Nous definisson ces quantité comme suit :
+    \begin{itemize}
+        \item $\text{fpr}(\uptau) = P(f_\uptau\circ X=1\mid Y=0)$
+        \item $\text{tpr}(\uptau) = P(f_\uptau\circ X=1\mid Y=1)$
+    \end{itemize}
+    \begin{equation*}
+        \text{roc}:\left\{
+            \begin{matrix}
+                [0,1]\rightarrow [0,1]\times[0,1]\\
+                \uptau\mapsto (\text{fpr}(\uptau),\text{tpr}(\uptau))
+            \end{matrix}
+        \right.
+    \end{equation*}
+
+    \begin{figure}
+        \centering
+        \begin{subfigure}{0.3\linewidth}
+            \centering
+            \includegraphics[width=\linewidth]{background/figure/ml/roc.pdf}
+            \caption{ROC d'une foret aléatoire sur un problème scolaire ($\textit{AUC}\approx 0,8$).}
+        \end{subfigure}
+        \begin{subfigure}{0.3\linewidth}
+            \centering
+            \includegraphics[width=\linewidth]{background/figure/ml/roc_perfect.pdf}
+            \caption{ROC parfaite ($\textit{AUC}=1$).}
+        \end{subfigure}
+        \begin{subfigure}{0.3\linewidth}
+            \centering
+            \includegraphics[width=\linewidth]{background/figure/ml/roc_random.pdf}
+            \caption{ROC \textit{random guess} ($\textit{AUC}=\frac{1}{2}$).}
+        \end{subfigure}
+        \caption{La courbe ROC.}
+        \label{fig:background-ml-roc}
+    \end{figure}
+
+    La courbe ROC montre que le seuil permet d'ajusté le compromis entre faux positif et vrai positif, en pratique ce compromis dépend de l'application.
+    En effet, comme nous le voyons sur la Figure~\ref{fig:background-ml-roc}, si le seuil vaut $\uptau=0$, tous les points sont classifier positivement par le modèlé. 
+    Ainsi le taux de faux positif et maximal et vaux $1$.
+    Dans le cas totalement opposé de $\uptau=1$ aucun point n'est classifier comme positif et donc il n'y a pas de faux positif mais il n'y a pas non plus de vrai positif.
+    Il s'agit donc de trouver un équilibre entre ces deux extrèmes.
+
+    Il peut être utile, pour comparer plusieur classifieur de résumer la ROC en une seule valuer.
+    Pour cela nous utilise l'aire sous la courbe ROC, appele AUC~\footnote{\textit{Area Under the Curve}}.
+    Comme nous le voyons sur la Figure~\ref{fig:background-ml-roc}, un classifieur qui malgré l'ajustement de son seuil reste un CCA a une AUC de $0,5$. 
+    Alors qu'un classifieur parfat, c'est-à dire pour lequel il exist un seuil qui produite un taux de faux positif nul et un tau de vrai positif égale à 1, a une AUC de $1$.
+
     \subsubsection{Regression}
-\subsection{Décentralisation}
-    \subsubsection{Federated learning}
-\subsection{Modèles génératifs}
+    La régression est un autre type de modèle qui cherche non pas à ranger une donnée dans une classe mais plutot à prédire un grandeur.
+    Par exemple prédire la masse d'une personne à partir de sa taille.
+    Nous avons vu dans la section précédente que certain modèle de classification utilise une étape intermédiaire de calcul de logit.
+    Le calul de logit est une forme de regression car il s'agit de prédit une grandeur et non pas de choisir une classe.
+    Pour mieux comprendre le lien entre ces deux type de modèle nous pouvons obsever l'exemple de la regression logistique.
+
+
+\subsection{Apprentissage profond}
+\subsubsection{Réseau de neurones}
+\subsubsection{Modèle generatif}
 \label{sec:background-generation}
diff --git a/background/opti.tex b/background/opti.tex
new file mode 100644
index 0000000..9d346d6
--- /dev/null
+++ b/background/opti.tex
@@ -0,0 +1,49 @@
+L'optimisation est une branche est des mathématiques appliquées qui cherche à trouver les points pour lequels une fonctions réalise un certain nombre d'exigence. 
+Le lecteur pourra se reférer par exemple au libre de Phillipe G. Ciarlet \textit{Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation}~\cite{ciarlet} pour une présentation très complète d'un grand nombre de techniques.
+Dans ce manuscrit nous ne nous interesseront qu'a deux type de problèmes liées à l'apprantissange automatique et surtout au réseaux de neuronnes.
+Le premier de ces problèmes est la minimisation sans contrainte d'une fonctionelle convexe.
+Cela permet l'entraînement de modèle d'apprantissage automatique à l'aide d'une fonction de coût.
+Le second problème reprend le premier mais y ajoute des contraintes.
+C'est à dire, comme minimise-t'on le coût tout en garantissant certaines conditions ?
+
+\subsubsection{Descente de gradient}
+\label{sec:background-opti-sgd}
+Nous appellons fonctionelles les fonctions $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$.
+Soit $J$ une fonctionelle convexe, nous cherchons à trouver $x\in\mathbb{R}$ tel que $J(x) = \text{inf}\{J(t)\mid t\in\mathbb{R}\}$.
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \begin{subfigure}{0.45\linewidth}
+        \centering
+        \includegraphics[width=0.66\linewidth]{background/figure/opti/f.pdf}
+        \caption{La suite $u$ approche un minimum locale de la fonction $f$.}
+    \end{subfigure}
+    \hspace{1cm}
+    \begin{subfigure}{0.45\linewidth}
+        \centering
+        \includegraphics[width=0.66\linewidth]{background/figure/opti/conv.pdf}
+        \caption{Convergence des l'écart entre $u$ et le minimum vers $0$ en fonction des itérations.}
+        \label{fig:background-opti-gd}
+    \end{subfigure}
+\end{figure}
+
+
+\begin{figure}
+    \begin{subfigure}{0.3\linewidth}
+    \includegraphics[width=\linewidth]{background/figure/ml/convex/f_local3.1.pdf}
+    \caption{L'algorithme tombe dans un minimum locale ($u_0=3,1$).}
+    \end{subfigure}
+    \begin{subfigure}{0.3\linewidth}
+    \includegraphics[width=\linewidth]{background/figure/ml/convex/f_local8.28.pdf}
+    \caption{L'algorithme tombe dans un minimum globale ($u_0=8,28$).}
+    \end{subfigure}
+    \begin{subfigure}{0.3\linewidth}
+    \includegraphics[width=\linewidth]{background/figure/ml/convex/conv_local.pdf}
+    \caption{Convergence vers un minimum locale et globale.}
+    \end{subfigure}
+    \caption{Impacte de la convexité sur la convergence.}
+    \label{fig:background-opti-cvx}
+\end{figure}
+\subsubsection{Multiplicateurs de Lagrange}
+
+\paragraph{Descente de gradient exponentiée}
diff --git a/background/proba.tex b/background/proba.tex
index 6050ef7..2cb0098 100644
--- a/background/proba.tex
+++ b/background/proba.tex
@@ -1,46 +1,73 @@
 
-La théorie des probability est profondément liée au machine learning.
+La théorie des probability est profondément liée à l'apprentissage automatique.
 Les propriétés de modèles comme la confidentialité différencielle, les définitions d'équitée, les métriques d'utilité, etc. que nous aborderons en Section~\ref{sec:background-ml} s'ecrivent en terme de probabilité.
 Ainsi nous présentons les notions de probabitlié et de théorie d la mesure que nous allons utiliser.
-A la manière de la Section~\ref{sec:background-set}, notre présentation à principalement le but de fixer les objets que nous utiliserons dans les prochaines sections et nous pas d'être un cours complet. 
+A la manière de la Section~\ref{sec:background-set}, notre présentation à principalement le but de fixer les objets que nous utiliserons dans les prochaines sections et non pas d'être un cours complet. 
 Si le lecteur souhaite en apprendre plus sur la theorie de la mesur nous le renvoyons vers les notes de cours de Thierry Gallay de l'université Joseph Fourrier~\cite{mesure}.
-Si il souhait explorer plus en avant les probabilités il poura consulter les notes de cour de Jean-François Le Gall de l'Ecole Normale Supérieur de Paris~\cite{proba}.
+Si il souhait explorer plus en avant les probabilités il poura consulter les notes de cours de Jean-François Le Gall de l'Ecole Normale Supérieur de Paris~\cite{proba}.
 
 Soit $A$ un ensemble.
-Nous appelons une tribue que nous notons $\mathcal{A}$ un sous esemble de $\mathcal{P}(A)$ qui contien $\emptyset$ et $A$, qui est stable par complémentaire et qui est stable par union d'un nombre dénombrable d'elements de $\mathcal{A}$.
+Nous appelons une tribue que nous notons $\mathcal{A}$ un sous esemble de $\mathcal{P}(A)$ qui contien $\emptyset$ et $A$, qui est stable par complémentaire et qui est stable par union dénombrable d'elements de $\mathcal{A}$.
 Nous disons que $(A,\mathcal{A})$ est un espace mesurable.
+Soit maintenant $A\subset\mathcal{P}(A)$, nous appellons $\sigma(A)$ la plus petite tribue pour l'intersection qui contienne tous les élements de $A$.
 
 Nous appelons mesure, une fonction $d$ :$\mathcal{A}$ $\rightarrow$ $[0,+\infty]$ telle que $d(\emptyset) = 0$ et $d\left(\bigcup_{i\in \mathbb{N}} A_i\right) = \sum_{i\in \mathbb{N}}d(A_i)$ pour tout $(A_1, A_2, \cdots) \in \mathcal{A}^\mathbb{N} $ avec $\forall (i,j) A_i\cap A_j = \emptyset$.
 Nous disons alors que $(A, \mathcal{A}, d)$ est un espace mesuré.
 
+Soit $(A, \mathcal{A}, d)$ et $(B, \mathcal{B}, e)$ deux espaces mesurés.
+Nous définissons alors 
+\begin{equation*}
+    \mathcal{A}\otimes\mathcal{B} = \sigma\left(
+    \left\{
+        a\times b \mid a\in\mathcal{A}\wedge b\in\mathcal{B}
+    \right\}\right)
+\end{equation*}
+et de plus la mesure produit de $d$ et $e$, que l'on note $d\otimes e$, est l'unique mesure telle que 
+\begin{equation*}
+    \forall a\in\mathcal{A}\forall b\in\mathcal{B}~d\otimes e(a\times b) = d(a)\cdot e(b)
+\end{equation*}
+Alors l'espace $(A\times B,\mathcal{A}\otimes\mathcal{B},d\otimes e)$ est un espace mesuré.
+
 Nous appelons fonction mesurable, une fonction de $A$ à $B$ telle que  $\forall b\in\mathcal{B}$~$f^{-1}(b)\in\mathcal{A}$.
 Nous notons alors $f:(A, \mathcal{A})\rightarrow (B, \mathcal{B})$ ou $f:(A, \mathcal{A},d)\rightarrow (B, \mathcal{B})$
+Nous definisson la mesure image de $f$ par $d$, que nous notons $d_f$, par l'expression suivante : 
+\begin{equation}
+    d_f:
+    \left\{
+        \begin{matrix}
+            \mathcal{B}\rightarrow [0,+\infty]\\
+            b\mapsto d\left(f^{-1}(b)\right)
+
+        \end{matrix}
+    \right.
+\end{equation}
 
 Dans le cas particulier où $d(A) = 1$, nous appelons $d$ une mesure de probabilité.
  $(A,\mathcal{A},d)$ est alors un espace probailisé et les fonctions mesurables sur cet espace sont appelés variables aléatoires.
-Le loi de probabilité d'une variable aléatoire $f$ sur $(X,\mathcal{X})$ est la mesure de probabilite suivante :
-$d_X :\mathcal{X}\rightarrow [0,1]$, $x\mapsto d(X^{-1}(x))$.
-
-Having introduced probability theory, we explicit the relation with the ML theory described previously.
-Let $I$ a finite set, $\mathcal{X}$, $\mathcal{S}$ and $\mathcal{Y}$ the sets of features, sensitive attribute and label.
-Let $d:I\rightarrow \mathcal{X}\times\mathcal{S}\times\mathcal{Y}$ a dataset.
-Let $\#$ be the measure on $(I,\mathcal{P}(I))$ which maps to every $a$ in $\mathcal{P}(I)$ the number of elements of $a$.
-Let $P:\mathcal{P}(I)\rightarrow [0,1]$, $a\mapsto \frac{\#(a)}{\#(I)}$.
-Then $(I, \mathcal{P}(I), P)$ is a probability space.
-On this space we can define the following random variables:
-\begin{itemize}
-    \item $X:I\rightarrow \mathcal{X},~i\mapsto (d(i))_0$
-    \item $S:I\rightarrow \mathcal{S},~i\mapsto (d(i))_1$
-    \item $Y:I\rightarrow \mathcal{Y},~i\mapsto (d(i))_2$
-\end{itemize}
-Where for a vector $u$, $u_j$ refers to the $j$th element of $u$.
-
-From there we can define various random variables that will be useful in the rest of the paper.
-For instance $\hat{Y}=f\circ X$ is random variable that represents the prediction of a trained machine learning model $f$. 
-We can use it to write the accuracy in a compact way: $P(\hat{Y}=Y)$ by using the well accepted abuse of notations that for a random variable $A$ and an event $a$, 
-$\{A\in a\} = \{i\in\mathcal{P}(I)~|~A(i)\in a\} = A^{-1}(a)$.
-The accuracy is a reliable metric of a trained model's utility when $P(Y=0) = P(Y=1) = \frac{1}{2}$ but not so much when there is unbalance in $Y$. 
-To take into account an eventual unbalanced distribution of the labels, we will consider the balanced accuracy : 
-$\frac{P(\hat{Y}=0|Y=0) + P(\hat{Y}=1|Y=1)}{2}$.
-
-Finally in the context of attribute inference attack at inference time, we define the random variable $\hat{S}=a\circ \hat{Y}$ where here $a$ is a machine learning model trained to infer sensitive attribute from model's output. 
+Le loi de probabilité d'une variable aléatoire $f$ sur $(X,\mathcal{X})$ est la mesure image de $f$ sur $d$.
+Nous dirons que deux variables aléatoire $f$ et $g$ sont indépendantes si et seulement si la loi de la variables aléatoire $h:\omega\mapsto (f(\omega),g(\omega))$ est la mesur produit de la loi de $f$ et $g$.
+
+
+%Having introduced probability theory, we explicit the relation with the ML theory described previously.
+%Let $I$ a finite set, $\mathcal{X}$, $\mathcal{S}$ and $\mathcal{Y}$ the sets of features, sensitive attribute and label.
+%Let $d:I\rightarrow \mathcal{X}\times\mathcal{S}\times\mathcal{Y}$ a dataset.
+%Let $\#$ be the measure on $(I,\mathcal{P}(I))$ which maps to every $a$ in $\mathcal{P}(I)$ the number of elements of $a$.
+%Let $P:\mathcal{P}(I)\rightarrow [0,1]$, $a\mapsto \frac{\#(a)}{\#(I)}$.
+%Then $(I, \mathcal{P}(I), P)$ is a probability space.
+%On this space we can define the following random variables:
+%\begin{itemize}
+%    \item $X:I\rightarrow \mathcal{X},~i\mapsto (d(i))_0$
+%    \item $S:I\rightarrow \mathcal{S},~i\mapsto (d(i))_1$
+%    \item $Y:I\rightarrow \mathcal{Y},~i\mapsto (d(i))_2$
+%\end{itemize}
+%MWhere for a vector $u$, $u_j$ refers to the $j$th element of $u$.
+
+%From there we can define various random variables that will be useful in the rest of the paper.
+%For instance $\hat{Y}=f\circ X$ is random variable that represents the prediction of a trained machine learning model $f$. 
+%We can use it to write the accuracy in a compact way: $P(\hat{Y}=Y)$ by using the well accepted abuse of notations that for a random variable $A$ and an event $a$, 
+%$\{A\in a\} = \{i\in\mathcal{P}(I)~|~A(i)\in a\} = A^{-1}(a)$.
+%The accuracy is a reliable metric of a trained model's utility when $P(Y=0) = P(Y=1) = \frac{1}{2}$ but not so much when there is unbalance in $Y$. 
+%To take into account an eventual unbalanced distribution of the labels, we will consider the balanced accuracy : 
+%$\frac{P(\hat{Y}=0|Y=0) + P(\hat{Y}=1|Y=1)}{2}$.
+%
+%Finally in the context of attribute inference attack at inference time, we define the random variable $\hat{S}=a\circ \hat{Y}$ where here $a$ is a machine learning model trained to infer sensitive attribute from model's output. 
diff --git a/background/set.tex b/background/set.tex
index 2e660f6..b45e302 100644
--- a/background/set.tex
+++ b/background/set.tex
@@ -85,6 +85,10 @@ $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
         \right\}
     \end{equation}
 
+    Nous dirons qu'une fonction $f:E\rightarrow F$ est injective si et seulement si $\forall (x,y)\in E^2(f(x)=f(y)\implies x=y$).
+    Nous dirons aussi que $f$ est surjective si et sulement si $\forall y\in F\exists x\in E~f(x)=y$.
+    Dans le cas où $f$ serait à la fois injective et surjective nous dirons qu'elle est bijective et que les ensembles $E$ et $F$ sont en bijection.
+
 \end{definition}
 
 \paragraph{Axiome du choix}