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index ee5c2c1..93b2f5d 100644
--- a/background/set.tex
+++ b/background/set.tex
@@ -1,25 +1,25 @@
-Commençons donc cette section préliminaire avec les définitions et quelques propriétés des ensembles et de fonctions.
+Commençons donc cette section préliminaire avec les définitions et quelques propriétés des ensembles et des fonctions.
 Commençons par les ensembles.
 Nous utilisons ici la théorie des ensembles Zermelo–Fraenkel (ZF).
-Si nous avons, dans ce manuscrit, besoin d'objet plus grands que les ensembles, nous les appellerons classes bien qu'il soit hors de propos de présenter ici la théorie Von Neumann–Bernays–Gödel (NBG).
-Nous allons présenter ZF de manière assez succincte, juste suffisante pour réaliser les calculs du Chapitre~\ref{sec:fini}.
+Si nous avons, dans ce manuscrit, besoin d'objets plus grands que les ensembles, nous les appellerons classes bien qu'il soit hors de propos de présenter ici la théorie Von Neumann–Bernays–Gödel (NBG).
+Nous allons présenter ZF de manière assez succincte, juste suffisamment pour réaliser les calculs du Chapitre~\ref{sec:fini}.
 Si le.la lecteur.rice souhaite plus de détails sur ces théories il.elle peut consulter \textit{Elements of set thoery} de Herbert B. Enderton~\cite{enderton1977elements}.
 
 \subsubsection{Axiomes de la théorie ZF}
 \label{sec:background-math-zf}
 Nous présentons dans cette section les axiomes de la théorie ZF.
-Ces axiomes sont la pierre angulaire des tous les développements mathématiques que nous ferons dans ce manuscrit.
-Pour un.e lecteur.rice qui ne serai pas familier.ère de cette théorie, disons qu'il s'agit de modéliser formellement le principe d'ensemble.
+Ces axiomes sont la pierre angulaire de tous les développements mathématiques que nous ferons dans ce manuscrit.
+Pour un.e lecteur.rice qui ne serait pas familier.ère de cette théorie, disons qu'il s'agit de modéliser formellement le principe d'ensemble.
 C'est-à-dire le principe de ranger des choses, les éléments, dans des boîtes, les ensembles.
 
 \paragraph{Axiome d'Extensionnalité} 
-Deux ensemble $A$ et $B$ sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments.
+Deux ensembles $A$ et $B$ sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments.
 \begin{equation*}
 \forall A\forall B (\forall x~x\in A \iff x\in B) \implies A=B
 \end{equation*}
 
 \paragraph{Axiome de l'ensemble vide}
-Il existe un ensemble qui ne contienne aucun élément.
+Il existe un ensemble qui ne contient aucun élément.
 Nous le notons donc $\{\}$ ou $\emptyset$.
 
 \paragraph{Axiome de la Paire}
@@ -28,7 +28,7 @@ Nous le notons donc $\{\}$ ou $\emptyset$.
 \end{equation*}
 
 \paragraph{Axiome de l'Union}
-Pour tout ensemble $A$, il existe un ensemble $\bigcup A$ qui soit exactement composé des éléments de chaque élément de $A$.
+Pour tout ensemble $A$, il existe un ensemble $\bigcup A$ qui est exactement composé des éléments de chaque élément de $A$.
 \begin{equation*}
 \forall A \exists \bigcup A \forall b \left(b\in\bigcup A\iff \exists a\in A~ b\in a\right)
 \end{equation*}
@@ -69,7 +69,7 @@ $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
     Une relation symétrique ($\forall x\forall y~(x,y)\in R \iff (y,x)\in R$), 
     réflexive ($\forall x~(x,x)\in R$) et
     transitive ($\forall x\forall y\forall z~(x,y)\in R\wedge (y,z)\in R\implies (x,z)\in R $) 
-    est appelé une \emph{relation d'équivalence}.
+    est appelée une \emph{relation d'équivalence}.
     Pour tout $a$, nous notons $[a]_R = \{b~|~(a,b)\in R\}$ la \emph{classes d'équivalence} de $a$.
     Nous notons $A/R$ l'ensemble des classes d'équivalence d'une relation $R$ sur un ensemble $A$.
 
@@ -109,10 +109,10 @@ $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
             \right.
     \end{equation*}
 
-    Pour une expression $f(x)$, quand cela est pertinent nous noterons $f(\square)$ la fonction $f:x\mapsto f(x)$ quand il n'y a pas d'ambiguïté sur le domaine et codomaine.
+    Pour une expression $f(x)$, quand cela est pertinent, nous noterons $f(\square)$ la fonction $f:x\mapsto f(x)$ quand il n'y a pas d'ambiguïté sur les domaine et codomaine.
 
     \textbf{Produit cartésien.}
-    Soit $A$ un ensemble $f$ une fonctions le produit cartésien est
+    Soit $A$ un ensemble $f$ une fonction, le produit cartésien est
     \begin{equation*}
         \bigtimes_{a\in A}f(a) = 
         \left\{
@@ -129,13 +129,13 @@ $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$
     Dans le cas où $f$ serait à la fois injective et surjective nous dirons qu'elle est bijective et que les ensembles $E$ et $F$ sont en bijection.
 
     Pour une bijection $f$ de $E$ dans $F$ nous notons $f^{-1} : y\mapsto x~\text{tel que}~f(x)=y$, c'est la fonction inverse de $f$.
-    Dans le cas où $f$ n'est pas bijective, nous définissons cette notation de la manière suivant :
+    Dans le cas où $f$ n'est pas bijective, nous définissons cette notation de la manière suivante :
     pour $B\subset F$,
     $f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B\}$,
     c'est l'image réciproque de $f$.
 
 \paragraph{Axiome du choix}
-Cette axiome nous assure qui si tous les termes du produit cartésien sons non-vides alors le produit cartésien est non-vide.
+Cet axiome nous assure que si tous les termes du produit cartésien sont non-vides alors le produit cartésien est non-vide.
 \begin{equation*}
     \forall a\in A f(a)\neq\emptyset \implies 
         \bigtimes_{a\in A}f(a) \neq\emptyset
@@ -152,9 +152,9 @@ Nous appelons un tel $A$, un ensemble récursif.
     \label{def:background-set-usu}
 
     \textbf{Entiers.}
-Soit $C$ la classe des ensembles récursif.
+Soit $C$ la classe des ensembles récursifs.
 Soit $A$ un ensemble récursif.
-Nous appelons $\mathbb{N}$ l'ensemble des entier naturels que nous définissons comme suit :
+Nous appelons $\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers naturels que nous définissons comme suit :
 \begin{equation*}
 \mathbb{N} = \{n\in A~|~\forall c\in C~n\in c\}
 \end{equation*}
@@ -197,7 +197,7 @@ La relation
             |u_a-u_b|\leq\varepsilon
         \end{equation*}
 
-        Soit $C$ l'ensemble des suite de Cauchy sur $\mathbb{Q}$.
+        Soit $C$ l'ensemble des suites de Cauchy sur $\mathbb{Q}$.
     \end{definition}
 
 La relation 
@@ -213,7 +213,7 @@ La relation
     \right\}
 \end{equation*}
     est une relation d'équivalence sur $C^2$.
-    Nous définissons alors l'ensemble des \emph{Nombres réels} $\mathbb{R}=C/T$.
+    Nous définissons alors l'ensemble des \emph{nombres réels} $\mathbb{R}=C/T$.
 
 \end{definition}
 
@@ -270,10 +270,10 @@ Cela est possible grâce aux injections canoniques suivantes :
 \end{equation*}
 
 Nous identifions aussi $\mathbb{R}$ aux représentations en base 10 de ses éléments.
-Et nous utiliserons les opérations usuelles $+$, $\cdot$, $-$ et $/$ ainsi que la relation d'ordre $<$ sur ces représentation.
-En générale il est possible de construire ces opérations sans utiliser la représentation en base 10~\cite{enderton1977elements} mais une telle construction est hors de propos pour ce manuscrit.
+Et nous utiliserons les opérations usuelles $+$, $\cdot$, $-$ et $/$ ainsi que la relation d'ordre $<$ sur ces représentations.
+En général il est possible de construire ces opérations sans utiliser la représentation en base 10~\cite{enderton1977elements} mais une telle construction est hors de propos pour ce manuscrit.
 
-Outre les opérations usuelles, nous allons avoir aussi besoin de quelques fonction particulière :
+Outre les opérations usuelles, nous allons avoir aussi besoin de quelques fonctions particulières :
 \begin{itemize}
     \item L'indicatrice de $A\subset E$ est 
         \begin{equation*}
@@ -298,20 +298,20 @@ Outre les opérations usuelles, nous allons avoir aussi besoin de quelques fonct
 
 \subsubsection{Intervalle}
 \label{sec:background-math-int}
-Pour $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ avec $a\leq b$ nous définissons l'intervalle $[a,b]$ de la manière suivant : $\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\wedge x\leq b\}$.
+Pour $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ avec $a\leq b$ nous définissons l'intervalle $[a,b]$ de la manière suivante : $\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\wedge x\leq b\}$.
 Et aussi sa contrepartie entière : $[|a,b|] = [a,b]\cap\mathbb{N}$.
 
 \subsubsection{Cardinal}
 \label{sec:background-math-card}
 La notion de cardinal cherche à comparer la taille d'ensembles arbitraires.
-Nous n'allons pas ici considérer la théorie de ordinaux de Van Neumann qui complète notre simplification.
-Le lecteur souhaitant aller plus loin et apprendre cette théorie peut se référer aux chapitres 6,7,8 et 9 de \textit{Elements of set thoery} de Herbert B. Enderton~\cite{enderton1977elements}.
-Notre simplification se suffit à elle même pour les développements qui nous allons présenter dans ce manuscrit.
+Nous n'allons pas ici considérer la théorie des ordinaux de Van Neumann qui complète notre simplification.
+Le.la lecteur.rice souhaitant aller plus loin et apprendre cette théorie peut se référer aux chapitres 6,7,8 et 9 de \textit{Elements of set thoery} de Herbert B. Enderton~\cite{enderton1977elements}.
+Notre simplification se suffit à elle-même pour les développements que nous allons présenter dans ce manuscrit.
 
 Nous dirons donc que tout ensemble $A$ a un cardinal que nous noterons $\#A$.
 Si $A$ est en bijection avec  $n\in\mathbb{N}$ alors $\#A = n$.
 Nous dirons alors que $A$ est un ensemble fini.
 Dans le cas contraire nous dirons que $A$ est infini.
-Si $A$ est en bijection avec un sous ensemble de $\mathbb{N}$ nous dirons que $A$ est dénombrable.
+Si $A$ est en bijection avec un sous-ensemble de $\mathbb{N}$ nous dirons que $A$ est dénombrable.
 Si $A$ est en bijection avec $\mathbb{N}$ nous notons $\#A = \aleph_0$.
-Enfin nous dirons que deux ensemble arbitraires ont le même cardinal si et seulement si ils sont en bijection.
+Enfin nous dirons que deux ensembles arbitraires ont le même cardinal si et seulement si ils sont en bijection.