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diff --git a/background/set.tex b/background/set.tex index ee5c2c1..93b2f5d 100644 --- a/background/set.tex +++ b/background/set.tex @@ -1,25 +1,25 @@ -Commençons donc cette section préliminaire avec les définitions et quelques propriétés des ensembles et de fonctions. +Commençons donc cette section préliminaire avec les définitions et quelques propriétés des ensembles et des fonctions. Commençons par les ensembles. Nous utilisons ici la théorie des ensembles Zermelo–Fraenkel (ZF). -Si nous avons, dans ce manuscrit, besoin d'objet plus grands que les ensembles, nous les appellerons classes bien qu'il soit hors de propos de présenter ici la théorie Von Neumann–Bernays–Gödel (NBG). -Nous allons présenter ZF de manière assez succincte, juste suffisante pour réaliser les calculs du Chapitre~\ref{sec:fini}. +Si nous avons, dans ce manuscrit, besoin d'objets plus grands que les ensembles, nous les appellerons classes bien qu'il soit hors de propos de présenter ici la théorie Von Neumann–Bernays–Gödel (NBG). +Nous allons présenter ZF de manière assez succincte, juste suffisamment pour réaliser les calculs du Chapitre~\ref{sec:fini}. Si le.la lecteur.rice souhaite plus de détails sur ces théories il.elle peut consulter \textit{Elements of set thoery} de Herbert B. Enderton~\cite{enderton1977elements}. \subsubsection{Axiomes de la théorie ZF} \label{sec:background-math-zf} Nous présentons dans cette section les axiomes de la théorie ZF. -Ces axiomes sont la pierre angulaire des tous les développements mathématiques que nous ferons dans ce manuscrit. -Pour un.e lecteur.rice qui ne serai pas familier.ère de cette théorie, disons qu'il s'agit de modéliser formellement le principe d'ensemble. +Ces axiomes sont la pierre angulaire de tous les développements mathématiques que nous ferons dans ce manuscrit. +Pour un.e lecteur.rice qui ne serait pas familier.ère de cette théorie, disons qu'il s'agit de modéliser formellement le principe d'ensemble. C'est-à-dire le principe de ranger des choses, les éléments, dans des boîtes, les ensembles. \paragraph{Axiome d'Extensionnalité} -Deux ensemble $A$ et $B$ sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments. +Deux ensembles $A$ et $B$ sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments. \begin{equation*} \forall A\forall B (\forall x~x\in A \iff x\in B) \implies A=B \end{equation*} \paragraph{Axiome de l'ensemble vide} -Il existe un ensemble qui ne contienne aucun élément. +Il existe un ensemble qui ne contient aucun élément. Nous le notons donc $\{\}$ ou $\emptyset$. \paragraph{Axiome de la Paire} @@ -28,7 +28,7 @@ Nous le notons donc $\{\}$ ou $\emptyset$. \end{equation*} \paragraph{Axiome de l'Union} -Pour tout ensemble $A$, il existe un ensemble $\bigcup A$ qui soit exactement composé des éléments de chaque élément de $A$. +Pour tout ensemble $A$, il existe un ensemble $\bigcup A$ qui est exactement composé des éléments de chaque élément de $A$. \begin{equation*} \forall A \exists \bigcup A \forall b \left(b\in\bigcup A\iff \exists a\in A~ b\in a\right) \end{equation*} @@ -69,7 +69,7 @@ $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$ Une relation symétrique ($\forall x\forall y~(x,y)\in R \iff (y,x)\in R$), réflexive ($\forall x~(x,x)\in R$) et transitive ($\forall x\forall y\forall z~(x,y)\in R\wedge (y,z)\in R\implies (x,z)\in R $) - est appelé une \emph{relation d'équivalence}. + est appelée une \emph{relation d'équivalence}. Pour tout $a$, nous notons $[a]_R = \{b~|~(a,b)\in R\}$ la \emph{classes d'équivalence} de $a$. Nous notons $A/R$ l'ensemble des classes d'équivalence d'une relation $R$ sur un ensemble $A$. @@ -109,10 +109,10 @@ $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$ \right. \end{equation*} - Pour une expression $f(x)$, quand cela est pertinent nous noterons $f(\square)$ la fonction $f:x\mapsto f(x)$ quand il n'y a pas d'ambiguïté sur le domaine et codomaine. + Pour une expression $f(x)$, quand cela est pertinent, nous noterons $f(\square)$ la fonction $f:x\mapsto f(x)$ quand il n'y a pas d'ambiguïté sur les domaine et codomaine. \textbf{Produit cartésien.} - Soit $A$ un ensemble $f$ une fonctions le produit cartésien est + Soit $A$ un ensemble $f$ une fonction, le produit cartésien est \begin{equation*} \bigtimes_{a\in A}f(a) = \left\{ @@ -129,13 +129,13 @@ $\forall b\in B (b\in A \wedge F)$ Dans le cas où $f$ serait à la fois injective et surjective nous dirons qu'elle est bijective et que les ensembles $E$ et $F$ sont en bijection. Pour une bijection $f$ de $E$ dans $F$ nous notons $f^{-1} : y\mapsto x~\text{tel que}~f(x)=y$, c'est la fonction inverse de $f$. - Dans le cas où $f$ n'est pas bijective, nous définissons cette notation de la manière suivant : + Dans le cas où $f$ n'est pas bijective, nous définissons cette notation de la manière suivante : pour $B\subset F$, $f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B\}$, c'est l'image réciproque de $f$. \paragraph{Axiome du choix} -Cette axiome nous assure qui si tous les termes du produit cartésien sons non-vides alors le produit cartésien est non-vide. +Cet axiome nous assure que si tous les termes du produit cartésien sont non-vides alors le produit cartésien est non-vide. \begin{equation*} \forall a\in A f(a)\neq\emptyset \implies \bigtimes_{a\in A}f(a) \neq\emptyset @@ -152,9 +152,9 @@ Nous appelons un tel $A$, un ensemble récursif. \label{def:background-set-usu} \textbf{Entiers.} -Soit $C$ la classe des ensembles récursif. +Soit $C$ la classe des ensembles récursifs. Soit $A$ un ensemble récursif. -Nous appelons $\mathbb{N}$ l'ensemble des entier naturels que nous définissons comme suit : +Nous appelons $\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers naturels que nous définissons comme suit : \begin{equation*} \mathbb{N} = \{n\in A~|~\forall c\in C~n\in c\} \end{equation*} @@ -197,7 +197,7 @@ La relation |u_a-u_b|\leq\varepsilon \end{equation*} - Soit $C$ l'ensemble des suite de Cauchy sur $\mathbb{Q}$. + Soit $C$ l'ensemble des suites de Cauchy sur $\mathbb{Q}$. \end{definition} La relation @@ -213,7 +213,7 @@ La relation \right\} \end{equation*} est une relation d'équivalence sur $C^2$. - Nous définissons alors l'ensemble des \emph{Nombres réels} $\mathbb{R}=C/T$. + Nous définissons alors l'ensemble des \emph{nombres réels} $\mathbb{R}=C/T$. \end{definition} @@ -270,10 +270,10 @@ Cela est possible grâce aux injections canoniques suivantes : \end{equation*} Nous identifions aussi $\mathbb{R}$ aux représentations en base 10 de ses éléments. -Et nous utiliserons les opérations usuelles $+$, $\cdot$, $-$ et $/$ ainsi que la relation d'ordre $<$ sur ces représentation. -En générale il est possible de construire ces opérations sans utiliser la représentation en base 10~\cite{enderton1977elements} mais une telle construction est hors de propos pour ce manuscrit. +Et nous utiliserons les opérations usuelles $+$, $\cdot$, $-$ et $/$ ainsi que la relation d'ordre $<$ sur ces représentations. +En général il est possible de construire ces opérations sans utiliser la représentation en base 10~\cite{enderton1977elements} mais une telle construction est hors de propos pour ce manuscrit. -Outre les opérations usuelles, nous allons avoir aussi besoin de quelques fonction particulière : +Outre les opérations usuelles, nous allons avoir aussi besoin de quelques fonctions particulières : \begin{itemize} \item L'indicatrice de $A\subset E$ est \begin{equation*} @@ -298,20 +298,20 @@ Outre les opérations usuelles, nous allons avoir aussi besoin de quelques fonct \subsubsection{Intervalle} \label{sec:background-math-int} -Pour $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ avec $a\leq b$ nous définissons l'intervalle $[a,b]$ de la manière suivant : $\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\wedge x\leq b\}$. +Pour $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ avec $a\leq b$ nous définissons l'intervalle $[a,b]$ de la manière suivante : $\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\wedge x\leq b\}$. Et aussi sa contrepartie entière : $[|a,b|] = [a,b]\cap\mathbb{N}$. \subsubsection{Cardinal} \label{sec:background-math-card} La notion de cardinal cherche à comparer la taille d'ensembles arbitraires. -Nous n'allons pas ici considérer la théorie de ordinaux de Van Neumann qui complète notre simplification. -Le lecteur souhaitant aller plus loin et apprendre cette théorie peut se référer aux chapitres 6,7,8 et 9 de \textit{Elements of set thoery} de Herbert B. Enderton~\cite{enderton1977elements}. -Notre simplification se suffit à elle même pour les développements qui nous allons présenter dans ce manuscrit. +Nous n'allons pas ici considérer la théorie des ordinaux de Van Neumann qui complète notre simplification. +Le.la lecteur.rice souhaitant aller plus loin et apprendre cette théorie peut se référer aux chapitres 6,7,8 et 9 de \textit{Elements of set thoery} de Herbert B. Enderton~\cite{enderton1977elements}. +Notre simplification se suffit à elle-même pour les développements que nous allons présenter dans ce manuscrit. Nous dirons donc que tout ensemble $A$ a un cardinal que nous noterons $\#A$. Si $A$ est en bijection avec $n\in\mathbb{N}$ alors $\#A = n$. Nous dirons alors que $A$ est un ensemble fini. Dans le cas contraire nous dirons que $A$ est infini. -Si $A$ est en bijection avec un sous ensemble de $\mathbb{N}$ nous dirons que $A$ est dénombrable. +Si $A$ est en bijection avec un sous-ensemble de $\mathbb{N}$ nous dirons que $A$ est dénombrable. Si $A$ est en bijection avec $\mathbb{N}$ nous notons $\#A = \aleph_0$. -Enfin nous dirons que deux ensemble arbitraires ont le même cardinal si et seulement si ils sont en bijection. +Enfin nous dirons que deux ensembles arbitraires ont le même cardinal si et seulement si ils sont en bijection. |